Робастные оценки

Реальные ряды ошибок измерений достаточно хорошо описываются распределениями с тяжелыми хвостами или - загрязненными распределениями.

Пусть измерительное устройство с вероятностью (1 - ) работает в основном режиме, при котором ошибка измерений имеет распределение P₀(z) с дисперсией , и с небольшой вероятностью - в режиме «сбоев», при котором ошибка распределена по закону H(z) c дисперсией . Тогда общее распределение ошибок имеет вид

P(z) = ,

а дисперсия выборочного среднего M , где С_n - выборочное средние, равна , где .

При =1, = 0.1, = 3 имеем = 1.8, а при = 5, = 3.4.

Таким образом, дисперсия выборочного среднего быстро растет с увеличением дисперсии , а при (когда H - распределение Коши) выборочное среднее становится несостоятельной оценкой параметра c^* (то есть не сходится по вероятности к c^*).

Задача теории робастного оценивания:

Найти такие оценки параметров, которые были бы нечувствительными к отклонениям ошибок от нормального закона (наличие выбросов и так далее), но не слишком бы проигрывали в эффективности по сравнению с оценками МП, если закон распределения ошибок - нормальный.

Считается, что потери 5-10% эффективности - вполне приемлемая плата за устойчивость оценок. Наиболее удачным считается метод помехоустойчивого оценивания, основанный на приеме максимального правдоподобия - M-оценки.