Функция распределения вероятностей

Функцию распределения вероятностей определяют как вероятность события, заключающегося в том, что наблюдаемая величина X меньше или равна допустимому ее значению x, то есть

Fx(x) = P (X x)

 

1) 0 £ F_x(x) £ 1 - < x <

2) F_x(- ) = 0; F_x() = 1;

3) F_x(x₂) > F_x(x₁) при x₂ > x₁

4) P(x₁ < x £ x₂) = F(x₂) - F(x₁)

Плотность распределения вероятности

- Производная от F_x(x).

f_x(x)dx = P(x < x £ x + dx) - элемент вероятности (вероятность того, что случайная величина лежит в диапазоне между x и x + dx)

Свойства плотности вероятности:

 

1. f (x) ³ 0 - < x <

2. f(x)dx = 1

3. F_x(x) = f(u)du

4. f(x)dx = P(x₁ < x £ x₂)

Средние значения и момент случайных величин

= E[x] = M[x] = xf(x)dx -

математическое ожидание величины x - центр тяжести стержня

1. Первый начальный момент (начальный момент порядка n:

E[xⁿ] = ⁿf(x)dx)

2. Второй начальный момент (начальный момент второго порядка)

_­­­­­ ² = E[x²] = ²f(x)dx

в технике - усредненный по времени квадрат случайного напряжения

или тока. Средняя мощность (шума).

3. Центральные моменты - моменты разности случайной величины Х и ее математического ожидания, то есть начальные моменты центрированной случайной величины.

ⁿ E[ ⁿ] = ⁿ f(x)dx

Центральные моменты характеризуют разброс случайной величины

относительно среднего (математического ожидания).

Первый центральный момент n=1 равен 0

¹ f(x)dx = f(x)dx - f(x)dx = f(x)dx = 0

Второй центральный момент n=2 - дисперсия

²_x = ² = ² f(x)dx = ² - ()²

_x - стандартное или среднеквадратичное отклонение

Основные теоремы теории вероятности.