Получение интервальных оценок

 

Доверительный интервал с заданной вероятностью накрывает теоретический параметр (истинное значение параметра).

Доверительный интервал вычисляется по данным из некоторой выборки. Фиксированная величина параметра заключена между границами интервала, называемыми доверительными пределами, с некоторой заданной степенью достоверности, называемой доверительной вероятностью.

 

Общая процедура получения интервальной оценки:

1. Некоторое вероятностное утверждение записывается в математических символах, содержащих рассматриваемый параметр ансамбля.

2. Аргумент преобразуется так, чтобы параметр ансамбля был заключён между статистиками, которые модно вычислить по выборке.

 

úú.1. Получение интервальной оценки для среднего (неизвестного) по ансамблю m_x случайной величины , распределённой по нормальному закону. Используем выборочное среднее и выборочную дисперсию S_x².

Известно, что статистика - подчиняется распределению Стьюдента. Поэтому можно сделать вероятностные утверждения относительно величины t:

1) ;

2) ;

 

3)

 

 

 

Если индексы n и b симметричны относительно t=0, то интервал по t симметричен.

 

Чтобы сделать площадь под кривой распределения вне интервала раной a/2 + a/2 = a, было положено b=1-n; таким образом b=1-a/2.

Таким образом

После того как получена выборка, и рассматриваются как фиксированные числа. Однако сам интервал является случайной переменной.

Симметричный доверительный интервал для среднего по ансамблю можно получить, преобразуя аргумент в с учётом равенства

Доверительная вероятность для интервала, заданного неравенством равна 1-a.

 

 

2. Если известна величина и известен какой либо (U) закон распределения случайной величины (чаще всего это нормальный закон т.к. из центральной предельной теоремы следует, что выборочное среднее подчиняется нормальному закону), то можно построить доверительные интервалы для m_x.

.

Если известна, то

.

 

 

3. Доверительный интервал для дисперсии по ансамблю случайной величины можно найти, используя c² распределение

4.

 

Известно, что величина (n_i – число повторений x_i) подчиняется c² – распределению с (n-1) степенями свободы, (при n_i=1),

Следовательно,

n=n-1.

Поэтому (подставив c² в ) получаем

Преобразовав это выражение, получим

.

При ;

 

с доверительной вероятностью 1-a.

 

Аналогично можно рассмотреть другие средние по ансамблю, если известно распределение их выборочных оценок. Если такие распределения не известны, необходимо воспользоваться неравенством Чебышева.

 

Пример: Доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии по ансамблю.

Дана выборка:

 

76,48	76,25
76,43	76,48
77,20	76,48
76,45	76,60

 

Х (см³)- определение объёма.

n=n-1=7

Для 95% вероятности и для симметричного интервала (1-a=0,95; a/2=0,025)

Находим t_0,975=2,36

 

Симметричный доверительный интервал, согласно , определяется неравенством

с вероятностью 0,95.

Доверительный интервал для с a=0,05 имеет вид