Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Пусть требуется решить систему уравнений

Пусть требуется решить систему уравнений

(1)

Исключая сначала из второго и третьего уравнений, а затем из третьего уравнения, получаем

(2)

.

Таким образом осуществлен прямой ход в методе Гаусса.

В процессе обратного хода последовательно исключаются и из второго и первого уравнений. В результате получаем решение системы уравнений (1)

(3)

Пусть теперь дана система из n линейных уравнений с n неизвестными

(4)

… … … … …

Разделив первое уравнение на , получим разрешающее уравнение

, (5)

где ,

Умножим разрешающее уравнение (5) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (4). Аналогично преобразуем остальные уравнения.

Система примет вид

 

(6)

… … … …

,

где

j = 2,3,...,n

 

Затем, оставляя без изменения первое уравнение, повторяем процедуру к оставшейся системе из n - 1 одного уравнения и т.д.

В результате получаем

(7)

… … … …

 

Прямой ход выполнен.

При выполнении обратного хода путем последовательного исключения неизвестных и т.д. из системы (7), получаем решение задачи

 

(8)

 

В модифицированном методе Гаусса с выбором максимального элемента по столбцу в начале 1-го шага прямого хода среди коэффициентов i = 1,2,...,n при неизвестном x находят наибольший по модулю. Пусть это . После этого в исходной системе меняют местами 1-ое и J-ое уравнения. Далее выполняется описанный выше метод.

В начале второго шага ищется максимальный по модулю элемент среди коэффициентов i = 2,3,...,n. При необходимости вновь делают перестановку и т. д.

Модифицированный алгоритм Гаусса уменьшает погрешность вычислений.

Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента (по столбцу) приведена на рис. 2.1