Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Первая интерполяционная формула Ньютона





Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих узлов , где - шаг интерполяции.

Необходимо подобрать полином

(3)

Условия (1) эквивалентны тому, что

, при .

Следуя Ньютону, будем искать полином в виде

(4)

Т.о. задача сводится к определению коэффициентов в выражении (4).

Полагая , получим .

Далее находим первую конечную разность и полагая , получим

Откуда:

Беря затем вторые разности и т.д., получаем:

Введем в рассмотрение новую переменную

- число шагов, необходимых для достижения точки из точки

(), получим

(5)

Это и есть первая интерполяционная формула Ньютона, которая применяется для интерполирования функций , в окрестности начального значения , где q мало по абсолютной величине!

Если в (5) положить n=1, то получим формулу линейного интерполирования

(6)

При n=2 – формулу параболического или квадратичного интерполирования.

Если дана неограниченная таблица , то n выбирают так, чтобы .

Если таблица конечна, то n не может превышать k-1, где k – число строк таблицы.

При применении 1-ой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей.

Пример: Построить на отрезке [3,5;3,7] интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей, с шагом h=0,05.

3,50 3,55 3,60 3,65 3,70
33,115 34,813 36,598 38,475 40,447

 

 

Решение:составляем таблицу разностей

 

3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 33,115 34,813 36,598 38,475 40,447 1,698 1,785 1,877 1,972 0,087 0,092 0,095 0,005 0,003  

 

Т.к. то n=3.

или

где

Можно упорядочить полином по степеням х, подставив значение q.

 

2. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Вывод формулы аналогичен выводу 1-ой интерполяционной формулы, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств

(8)

Введем обозначение

Тогда

и так далее.

В результате получим:

(9)

Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:

 

Х У
  3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893

 

Найти lg1044

 

Решение: составляем таблицу конечных разностей

 

1050 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 41560 -426 -418 -409 -401 8

Примем Тогда .

По формуле (3) получем:

В результате все знаки верные.

Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад (за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна.







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 1066. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Разновидности сальников для насосов и правильный уход за ними   Сальники, используемые в насосном оборудовании, служат для герметизации пространства образованного кожухом и рабочим валом, выходящим через корпус наружу...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора.  ...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия