Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона

Если узлы интерполирования - равноотстоящие причем то, пологая , получим остаточные члены для 1-ой и 2-ой интерполяционных формул Ньютона:

(10)

, (11)

Где - некоторое промежуточное значение между узлом интерполирования и точкой .

(Для интерполирования , для экстраполирования возможно, что ).

При расчетах порядок n разностей выбирается таким, что . Учитывая, что h достаточно мало и и что

можно положить:

(12)

При этом остаточные члены интерполяционных формул Ньютона будут равны

Пример: В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=1000 до х=10000 с предельной абсолютной погрешностью, равной . Возможно ли линейное программирование с той же степенью точности?

Решение: Т.к. , то где

Отсюда

, а

Из формулы (1) при n=11 и h=1 получаем:

Т.к. (интерполируем не далее, чем на 1 шаг), то

Окончательно получаем:

Т.о. погрешность интерполирования не превосходит погрешностей исходных данных!

Линейное интерполирование (h=1) возможно.

Интерполяционные формулы Ньютона используют лишь значения функций, лежащие лишь по одну сторону от выбранного начального значения Для интерполирования в середине таблицы удобно применять формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функций по отношению к начальному ее значению.

При этом используются центральные разности

Интерполяционные формулы, построенные с помощью центральных разностей - это формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.