Интерполяционная формула Лагранжа

Для произвольно заданных узлов интерполирования (в том числе и для неравноотстоящих узлов) применяется интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [a, b] задано n+1 значений аргумента и известны значения функций y=f(x):

Требуется построить полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах , те же значения, что и функция f(x), т.е. такой,

 

Рис. 4.2 Построение полинома

что

Рассмотрим частную задачу: построить полином , такой, чтобы = 0

при и при

Т.е. (13)

Такой полином имеет вид:

(14)

При в силу условия (13),

поэтому

И

В результате получаем:

(15)

Будем теперь искать интерполяционный полином в виде

Этот полином имеет вид:

(16)

Подставляя (15) в (16), получаем:

(17)

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа

 

При n=1 имеем:

- уравнение прямой,

проходящей через 2 заданные точки: (

При n=2 получаем уравнение параболы, проходящей через три точки:

 

(точки

Пример: Для функции построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы:

Решение: Вычисляем

По формуле (17) получаем:

Точность не велика, т.к. синусоиду мы интерполируем квадратичной параболой.

 

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

 

(18)

где

 

Пример: с какой точностью можно вычислить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа для функции , выбрав узлы интерполирования Три точки n=2.

Решение:имеем

Отсюда (т.к.

Из формулы (18) получаем: