Теорема.

Пусть функция g (x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную и выполнены два условия:

1) q < 1 при x [a, b];

2) значения функции y = g(х) принадлежат отрезку [a,b] для любого x [a, b]

Тогда при любом выборе начального приближения x⁽⁰⁾ [a, b] процесс итераций сходится к единственному корню уравнения (1) на отрезке [a, b]

Оценка погрешности k -го приближения x ^(k) к корню такова:

, (8)

где

Укажем теперь один из способов преобразования уравнения

f(x) = 0 (9)

к виду x = g(x), допускающему применение метода итераций, сходящихся к решению уравнения (9).

Для любого числа уравнение (9) равносильно уравнению (5), где

g (x) = x + f(x).

Предположим, что производная f ^' (x) > 0 и непрерывна

на [ a,b ]. Пусть , ;

положим

,

и рассмотрим функцию

. (10)

Для функции, определенной формулой (10), выполняются достаточные условия сходимости метода итераций решения уравнения (9). В частности, условие 1) теоремы следует из неравенств

0 < m f ^' (x) M,

0 g ^' (x) = 1 - (1/M) f ^' (x) 1 - m/M = g < 1 .

Замечание1. Если окажется, что производная f ^' (x) отрицательна на отрезке [ a, b], то уравнение (1) можно заменить на равносильное уравнение -f(x) = 0 и использовать указанное преобразование.

Замечание 2. Если вычисление точного числа затруднительно, то можно заменить его произвольным числом М₁> M. Однако при большом М₁ число q = 1 - m / М₁ ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.

Замечание 3. При нахождении корня уравнения (1) с заданной точностью или при оценке погрешности k-го приближения можно, не вычисляя точного значения числа

q = max | g ^' (x) |,ограничиться следующей практической рекомендацией:

при 0 < q (1/2) (11)

при (1/2) < q < 1. (12)

Блок – схема алгоритма, реализующего итерационный метод, приведена на рис. 3.2.

 

 

>

<

<

b = x1

d = b - a

a = x1

0

x1 = (a + b ) / 2

 

 

 

Рис 3.3 Блок – схема алгоритма, реализующего метод половинного деления