Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Если все диагональные элементы
где Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
В качестве начального приближения
.........
Если существует предел x последовательности векторов Достаточное условие сходимости итерационного процесса: Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: Под нормой матрицы
Пример: для матрицы
В расчетах полагают
где
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
В качестве начального приближения
.........
Если существует предел x последовательности векторов Достаточное условие сходимости итерационного процесса: Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы:
Рис. 2.1 Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений Под нормой матрицы
Пример: для матрицы В расчетах полагают
где
Из неравенства (13) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности e. Отклонение приближения
Для вывода (14) достаточно рассмотреть равенства:
Далее И учитывая, что В неравенствах (13) и (14) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы. Неравенство (14) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (14) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение
Пример:Найти решение системы уравнений методом итераций с точностью 10-2. Решение:Приведем систему к виду (10) Запишем последовательность итераций
Для приведенной матрицы В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы Число итераций для достижения заданной точности
Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (15) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (13) в виде:
Первое приближение: Следовательно,
Далее последовательно находим:
Третья итерация:
Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение Ниже приведена блок – схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций.
Лабораторная работа 2
|