Пример разработки программы для решения задачи численного интегрирования в системе Mathcad
Вычисление по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона. Пример. Найти приближенные значения интеграла Решение Найдем производные подынтегральной функции до четвертого порядка включительно и максимальные абсолютные значения производных второго и четвертого порядка на отрезке [0;1]:
При n=4 получим следующие погрешности результатов:
Расчет функции
Программный блок представляет собой группу операторов присваивания и управляющих операторов. Необходимо обратить особое внимание, что все ключевые слова (например, if) в этих операторах обязательно вводятся с помощью панели Programming (Программирование), показанной на рисунке. Их ввод с клавиатуры - ошибка! Открыть панель программирования можно с помощью панели Math,кликнув на кнопке В целом правила работы с операторами те же, что и в языке Pascal, отличия касаются способа записи операторов. Разобраться в этом нам поможет таблица1: Таблица 1. Соответствие программных операторов MathCAD и Pascal
Если функция является программным блоком, то значение, которое возвращает функция, - это обычно значение, вычисленное последним сработавшим оператором блока. Достоинством MathCAD’а является то, что не следуем заботиться об определении типов переменных – MathCAD осуществляет это сам. Назовем данную функцию fun(x) и присвоим локальной переменной значение заданной функции: Расчет интеграла по формуле прямоугольников.
InSguare(0,1,2) = 1.753 Рассчитаем погрешность интегрирования с помощью функции
Расчет интеграла по формуле трапеций. Аналогично, как в предыдущем примере рассчитываем интеграл, с той лишь разницей, что теперь интеграл будет равен сумме элементарных трапеций, площадь которых хранится в переменной х2.
Рассчитаем погрешность с помощью функции:
Расчет интеграла по формуле Симпсона. Рассчитаем интеграл через полученные значения по формулам прямоугольников и трапеций, используя формулу:
Вычисление по формуле Гаусса с тремя узлами
Найти приближенные значения интеграла Решение Найдем производные подынтегральной функции до шестого порядка включительно, продолжая вычисления из предыдущего примера:
С погрешностью, не большей чем 0,001 имеем
x2=0,5; f(x2)=1,41247
Написание Mathcad-программы для вычисления интеграла по формуле Гаусса комментариев не требует.
Контрольные вопросы 1.Что такое квадратурные формулы? 2.Какие квадратурные формулы вы знаете? 3. Какая из квадратурных формул имеет наименьшую погрешность при одинаковом числе разбиений интервала интегрирования? 4.Что дает метод двойного пересчета? 5. Какая из квадратурных формул имеет меньшую погрешность: - квадратурная формула прямоугольников - квадратурная формула трапеций?
|