Cингонии.

По характеру симметрии кристалла и его пространственной решетки, от которой зависят, в частности, соотношения между параметрами элементарной ячейки, все виды пространственных решеток могут быть отнесены к одной из семи систем или сингоний (триклинной, моноклинной, ромбической, ромбоэдрической, гексагональной, тетрагональной, кубической).

Характерные особенности каждой сингонии и формулы, связывающие величины межплоскостных расстояний с индексами соответствующих семейств плоскостей и параметрами решетки, т.н. квадратичные формы, приведены в табл.№1.

Пространственные решетки, в которых атомы расположены только в вершинах элементарных ячеек (узлах), называются простыми или примитивными. Решетки, в которых атомы расположены не только по вершинам, но и внутри ячеек и на их гранях, называются сложными.

Очевидно, химические соединения не могут иметь простые решетки, Среди химических элементов простую (ромбоэдрическую) решетку имеет одна лишь ртуть. Для металлов характерны сложные плотно упакованные решетки. Наиболее распространены среди металлов решетки объемноцентрированная кубическая (ОЦК), гранецентрированная кубическая (ГЦК) и компактная гексагональная. Помимо атомов в вершинах (узлах), ячейки этих решеток содержат по одному атому: ОЦК – в центре куба, ГЦК – в центрах каждой из шести граней куба, гексагональная компактная – в центре двух трехгранных призм, образующих параллелепипед.

В простой пространственной решетке на долю одной элементарной ячейки приходится всего один атом (каждой из восьми атомов, расположенных в вершинах, принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам 8 =1).

В cложных пространственных решетках на долю элементарной ячейки приходится несколько атомов. Сложные решетки можно рассматривать как совокупность нескольких простых решеток, вставленных друг в друга. Число этих простых решеток равно числу атомов, приходящихся на долю сложной элементарной ячейки.

Сложные решетки называются иногда решетками с базисом. Под базисом решетки понимают совокупность координат атомов, входящих в сложную элементарную ячейку, выраженных в осевых единицах.

В таблице № 2 приведены данные о базисе основных решеток, коэффициенте заполнения (отношения объема, занимаемого атомами, к объему элементарной ячейки) и координационном числе – к.ч. (число ближайших соседних атомов в решетке).

(110). В кубической сингонии их называют плоскостями ромбического додекаэдра.

Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум другим (например, осям Y и Z) обозначают (100) и называют в кубической решетке плоскостями куба.

Индексы направлений. Под кристаллографическими индексами направления понимают три целых взаимно простых числа, пропорциональных координатам любого атома, лежащего на данном направлении, измеренным в осевых единицах.

При установлении кристаллографических индексов данного направления его необходимо перенести параллельно самому себе в начало координат.

Для кубической сингонии индексы направления , перпендикулярного к плоскостям (001), численно равны индексам этой плоскости. Так индексы оси X равны , а индексы плоскости, перпендикулярной оси Y, равны (010).

Угол между двумя направлениями в кубической сингонии с индексами и может быть найден из уравнения

 

cosj = (5)

 

Совокупность семейств плоскостей, параллельных одному направлению в решетке, называется кристаллографической зоной, а само направление осью зоны.

Между индексами оси зоны и индексами (hkl) плоскостей, входящих в данную зону, имеет место следующая зависимость

 

hu+kv +lv =0 (6)

 

Уравнение (6) определяет таким образом условие зональности.

Каждое семейство плоскостей с индексами (hkl) характеризуется также своим межплоскостным расстоянием d, то есть расстоянием между двумя соседними параллельными плоскостями

В случае сложной решетки, состоящей как бы из нескольких простых, межплоскостное расстояние равно расстоянию между соседними параллельными плоскостями одной простой решетки. Так в случае ОЦК межплоскостное расстояние для плоскостей (100) равно периоду решетки а, но не а/2.

Между индексами (hkl), величиной d и периодами решетки а,b,c, существует зависимость, различная для каждой сингонии.

Приводим те из них, которые часто используются в рентгеноструктурном анализе поликристаллов.

Все кристаллографически идентичные семейства плоскостей образуют совокупность плоскостей, обозначаемую фигурными скобками {hkl}.

Так в кубической сингонии совокупность плоскостей куба {100} содержит шесть кристаллографически идентичных семейств плоскостей , , . Если, например, путем различных операций симметрии повернуть (001) в любое из остальных четырех семейств плоскостей, то новое положение решетки совпадет с начальным. В этом и заключается кристаллографическая идентичность.

Важнейшим признаком кристаллографически идентичных плоскостей является то, что они обладают одинаковым межплоскостным расстоянием. Поэтому количество кристаллографически идентичных плоскостей (семейств плоскостей) для любой совокупности равно числу возможных перестановок местами и знаками индексов, входящих в данную совокупность, не изменяющих величины межплоскостного расстояния.

В качестве примера рассмотрим те же шесть плоскостей. В случаи кубической сингонии согласно (7) для всех шести семейств плоскостей куба d=a,и они входят в одну совокупность.

В случае тетрагональной сингонии (см. формулу (8)) эти шесть плоскостей разбиваются на две совокупности. В одну из них {100} входят четыре плоскости: (100), Для них d=a.

Во вторую совокупность {001} входят две плоскости (001) и . Для них d¹a.

Приводим количество кристаллографически идентичных плоскостей P для совокупностей с разными индексами в кубической сингонии (таблица 4).

В геометрической кристаллографии, изучающей формы кристаллов и многогранников, рассмотренному представлению о совокупности кристаллографически идентичных плоскостей соответствует представление о простой форме. Под простой формой понимают совокупность граней, которые может быть выведена из одной посредством разных операций симметрии.

То же можно сказать и о совокупности кристаллографически идентичных семейств плоскостей. Рассмотрим шлиф поликристаллического образца металла с кубической решеткой, в которой зерна ориентированы беспорядочно. В различных зернах параллельными плоскостями шлифа окажутся разные кристаллографические семейства плоскостей. Если теперь каким либо методом (фигур травления, фигур давления и др.) определить эти плоскости, то окажется (при большом числе зерен), что число зерен, ориентированных параллельно плоскости шлифа плоскостям (100), (110), (111) будет относиться как P : P : P =6: 12: 8.

При наличии преимущественной ориентировки (текстуры) это отношение будет нарушено.