Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері

 

Интегралдық есептеудегі негізгі есеп берілген f(x) функциясы үшін F’(x)=f(x) болатын F(x) функциясын табу. Іздеп отырған F(x) функциясын f(x) функциясының алғашқы функциясы дейді. Егер f(x) функциясы берілген болса, оның алғашқы функциясы біреу болмайды, одан көп болады, яғни төмедегі теорема орындалады.

Теорема 1. Егер F(x) функциясы [a;b] аралығында f(x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда кез келген тұрақты C саны үшін F(x)+C функциясы f(x) функциясының сол аралықта алғашқы функциясы болады.

Жалпы алғанда F(x)+C функциялары f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларын толығымен қамтиды.

Анықтама. f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп атап

деп белгілейді. Мұнда f(x) функциясын интеграл астындағы функция деп, ал f(x)dx өрнегін интеграл астындағы өрнек деп айтады, x айнымалысын интегралдау айнымалысы дейді.

Сонымен осы айтқандарымызды қорытындыласақ F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функцияларының бірі болса, онда кез-келген C тұрақты сан үшін

болады.

Туындысы берілген функцияның өзін табу есебін шығару, яғни анықталмаған интегралды табу есебін шығару осы функцияны (іздеп отырған функцияның туындысы) интегралдау деп аталады. Сонымен интегралдау дегеніміз дифференциалдауға кері есеп болады. Интегралдау есебінің дұрыс шыққанын білу үшін есеп жауабынан туынды алады, егер есеп дұрыс шыққан болса онда туынды интеграл астындағы функцияға тең болуы керек.

1. Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең болады. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең болады;

2. Егер бір функцияның дифференциалынан анықталмаған интеграл табалық болса, онда ол сол функция мен кез-келген тұрақты санның қосындысына тең болады:

3. Интеграл астындағы өрнектің тұрақты көбейткішін интегралдың алдына шығаруға болады; яғни:

4. Екі функцияның алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы сол функциялардың анықталмаған интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады; яғни:

 

Анықталмаған интегралдар таблицасы. Интегралдаудағы негізгі әдістер

 

Төменде негізгі элементарлық функциялар мен олардан құралған кей өрнектердің анықталмаған интегралдары берілген. Бұлар негізінен туындылар таблицасынан интегралдау туынды табуға кері операция екендігін ескеріп есептелген.

Енді анықталмаған интегралды есептеу кезінде жиі қолданылатын әдістердің кейбірін көрсете кетелік.

Тура интегралдау. Тура интегралдау деп таблицада келтірілген анықталмаған интегралдар мен анықталмаған интегралдардың қасиеттерін қолданып алғашқы функцияларды табуды айтады.

Алмастыру енгізу әдісі. Көп жағдайда жаңа айнымалы енгізгенде (кей алгебралық өрнекті жаңа айнымалы ретінде алғанда) анықталмаған интегралды тура интегралдау әдісімен табуға болады. Бұл әдіс төмендегі теоремаға негізделген.

Теорема 1. x=g(t) функциясы бір Т аралығында анықталған және дифференциалданатын функция болсын, ал Х оның мәндерінің жиыны болсын, бұл жиын f(x) функциясының анықталу обылысы болсын. Онда Х аралығында f(x) функциясының алғашқы функциясы бар болса, онда Т жиынында мына формула орындалады:

Бұл формула анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы деп аталынады.

Бөліктеп интегралдау. Бұл әдіс екі функцияның көбейтіндісінің туындысвының формуласының салдары болады.

Теорема 2. u(x) және v(x) функциялары бір Х аралығында анықталған дифференциалданатын функциялар болсын, сонымен қатар осы аралықта u’(x)v(x) функциясының алғашқы функциясы бар болсын. Онда Х аралығында u(x)v’(x) функциясының да алғашқы функциясы бар және төмендегі формула орындалады:

Бұл формула анықталмаған интегралды бөлектеп есептеу формуласы деп аталынады. Бұл формуланы қолданғанда u(x) функциясы ретінде туынды табуда қарапайым түрге келетін функцияны алады. Көбіне lnx, arctgx, arcsinx функцияларын осы функция ретінде алады.

Рационалдық функцияларды (екі көпмүшеліктің қатынасы), иррационалдық функцияларды (радикалдар арқылы өрнектелетін функциялар), трансценденттік функциялары (өрнектерде тригонометриялық, көрсеткіштік функциялар мен олардың әртүрлі комбинациялар бар функциялар) интегралдаған кезде арнайы әдістер қолданылады.