Дифференциалдық есептеулердегі негізгі теоремалар

Іс жүзінде жиі қолданылатын дифференциалдық есептеулердің кей негізгі теоремаларын келтірелік.

Теорема 1 (Ролль). Егер [a;b] аралығында анықталған у=f(x) функциясы осы аралықтың ішкі нүктелерінде үзіліссіз және дифференциалданатын (туындысы бар) функция болса, сонымен қатар f(a)=f(b) теңдігі орындалса, онда f’(c)=0 теңдігін қанағаттандыратын ең болмағанда бір с (a<c<b) нүктесі табылады.

Ролль теоремасының геометриялық мағынасы мынандай: Егер үзіліссіз қисықтың әрбір нүктесінде жанамасы бар болса, сонымен қатар қиықтың ұштарын қосып тұрған қиюшы сызық абсцисса осіне параллель болатын болса, онда осы қисықтың ең болмағанда бір нүктесіндегі жанма абсцисса осіне параллель болады. Жоғарыда келтірілген суреттен (оң жақтағысы) көрініп тұрғанындай, егер қисықтың жанамасы болмайтын нүктелері бар болса, онда Ролль теоремасының қорытынды бөлігі орындалуы міндетті емес екен.

Теорема 2 (Лагранж). Егер [a;b] аралығында анықталған у=f(x) функциясы осы аралықтың ішкі нүктелерінде үзіліссіз және дифференциалданатын (туындысы бар) функция болса, онда осы аралықта

f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). (*)

теңдігін қанағаттандыратын ең болмағанда бір с (a<c<b) нүктесі табылады.

Соңғы формуланы Лагранждың ақырлы өсімше туралы формуласы деп атайды. Бұл формуланың геометриялық мағынасын түсіну үшін келтірілген суреттке қаралық. Суреттен көрініп тұрғанындай, мына

шама графиктің абсциссалары a және b болатын A және B нүктелерін қосатын хорданың абсцисса осінің оң бағытымен жасайтын α; бұрышының тангенсі болады.

Енді туындының геометриялық мағынасы бойынша шамасы қисықтың абсциссасы болатын нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициенті, яғни сол жанаманың абсцисса осінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенсі. Сонымен Лагранж теоремасы бойынша, егер қисықтың барлық нүктесінде жанамасы бар болса, онда осы қисықтың ұштарын қосатын хордаға параллель жанамасы болатын қисықта ең болмағанда бір нүкте болады екен.

Теорема 3 (Коши). Егер [a;b] аралығында берілген f(x) және g(x) функциялары осы аралықта үзіліссіз және осы аралықтың ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса, сонымен қатар осы аралықта g(x)≠0 болса, онда осы аралықта

теңдігін қанағаттандыратын ең болмағанда бір c нүктесі табылады.