Дифференциал

 

Бізге [a,b] аралығында дифференциалданатын (туындысы бар) y=f(x) функциясы берілсін. Оның туындысы төмендегі теңдікпен анықталады:

Δx→0 болған кезде Δy/Δx қатынасы f’(x) санына ұмтылады, сондықтан ол саннан ақырсыз аз шамаға ауытқып тұрады:

мұнда Δx→0 болғанда α→0 болады.

Енді соңғы теңдікті Δx шамасына көбейтсек мынаны аламыз:

Жалпы жағдайда f’(x)≠0 деп есептеуге болады. x– тің тұрақты мәнінде f’(x)Δx шамасы Δx пен салыстырғанда бірінші ретті ақырсыз аз шама болады. Ал αΔx шамасының ақырсыз аздығы Δx пен салыстырғанда бірінші реттен жоғары болады, себебі:

Сонымен функция өсімшесі Δy екі қосылғышқа жіктеледі екен (f’(x)≠0 болған кезде). Оның біріншісі f’(x)Δx Δx- пен салыстырғанда бірінші ретті ақырсыз аз шама, ал екіншінің ақырсыз аздығы одан жоғары болады. f’(x)Δx шамасын y=f(x) функциясының дифференциалы деп атап dy деп белгілейді:

dy=f’(x)Δx. (2)

Енді осы анықтамамызды қолданып y=x функциясының дифференциалын есептелік: y’=(x)’=1, сондықтан dy=dx=Δx яғни dx=Δx. Сонымен соңғы теңдікті тәуелсіз айнымалының дифференциалы деп қарастыруымызға болады екен, сондықтан (2) теңдікті былай жазуымызға болады екен: dy=f’(x)dx.

Соңғы өрнектен мынаны алуға болады:

Яғни туындыны тәуелді айнымалының дифференциалының тәуелсіз айнымалының дифференциалына қатынасы ретінде қарастыруымызға болады екен.

Енді (1) өрнекті (2) өрнекті ескере отырып былай жазуымызға болады екен:

Δy=dy+αΔx.

Сонымен функция өсімшесінің функция дифференциалынан айырмашылығы Δx шамасымен салыстырғанда бірінші реттен жоғары ақырсыз аз шама болады екен. Егер f’(x)≠0 болса, онда αΔx шамасы dy шамасымен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады екен. Сондықтан:

Жуықтап есептеу кезінде осы айтылғандарды ескере отырып төмендегі жуық теңдікті қолдануға болады екен:

Δy≈dy.

Соңғы теңдікті басқаша қылып ашып жазалық:

f(x+Δx)-f(x)≈f’(x)Δx.

Осындай жуық теңсіздіктерді қолдану есептеу жұмыстарының көлемін азайтады.