Дифференциал

Бізге [a,b] аралығында дифференциалданатын (туындысы бар) y=f(x) функциясы берілсін. Оның туындысы төмендегі теңдікпен анықталады:

Δx→0 болған кезде Δy/Δx қатынасы f’(x) санына ұмтылады, сондықтан ол саннан ақырсыз аз шамаға ауытқып тұрады:

мұнда Δx→0 болғанда α→0 болады.

Енді соңғы теңдікті Δx шамасына көбейтсек мынаны аламыз:

Жалпы жағдайда f’(x)≠0 деп есептеуге болады. x–тің тұрақты мәнінде f’(x)Δx шамасы Δx пен салыстырғанда бірінші ретті ақырсыз аз шама болады. Ал αΔx шамасының ақырсыз аздығы Δx пен салыстырғанда бірінші реттен жоғары болады, себебі:

Сонымен функция өсімшесі Δy екі қосылғышқа жіктеледі екен (f’(x)≠0 болған кезде). Оның біріншісі f’(x)Δx Δx-пен салыстырғанда бірінші ретті ақырсыз аз шама, ал екіншінің ақырсыз аздығы одан жоғары болады. f’(x)Δx шамасын y=f(x) функциясының дифференциалы деп атап dy деп белгілейді:

dy=f’(x)Δx. (2)

Енді осы анықтамамызды қолданып y=x функциясының дифференциалын есептелік: y’=(x)’=1, сондықтан dy=dx=Δx яғни dx=Δx. Сонымен соңғы теңдікті тәуелсіз айнымалының дифференциалы деп қарастыруымызға болады екен, сондықтан (2) теңдікті былай жазуымызға болады екен: dy=f’(x)dx.

Соңғы өрнектен мынаны алуға болады:

Яғни туындыны тәуелді айнымалының дифференциалының тәуелсіз айнымалының дифференциалына қатынасы ретінде қарастыруымызға болады екен.

Енді (1) өрнекті (2) өрнекті ескере отырып былай жазуымызға болады екен:

Δy=dy+αΔx.

Сонымен функция өсімшесінің функция дифференциалынан айырмашылығы Δx шамасымен салыстырғанда бірінші реттен жоғары ақырсыз аз шама болады екен. Егер f’(x)≠0 болса, онда αΔx шамасы dy шамасымен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады екен. Сондықтан:

Жуықтап есептеу кезінде осы айтылғандарды ескере отырып төмендегі жуық теңдікті қолдануға болады екен:

Δy≈dy.

Соңғы теңдікті басқаша қылып ашып жазалық:

f(x+Δx)-f(x)≈f’(x)Δx.

Осындай жуық теңсіздіктерді қолдану есептеу жұмыстарының көлемін азайтады.