Функцияны зерттеу және оның графигін тұрғызу

 

Дифференциалдық есептеудегі негізгі мақсаттың бірі функцияны зерттеу, яғни тәуелсіз айнымалының өзгеруіне байланысты тәуелді айнымалы қалай өзгеретінін зерттеу болып табылады.

Егер функция берілген аралықтағы аргументтің кез-келген екі мәні үшін аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен (кіші) мәні сәйкес келетін болса, онда функция осы аралықта өспелі (кемімелі) функция болады деп айтады. Яғни x₁<x₂ болған кезде өспелі (кемімелі) функция үшін f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)) болады. Ал егер x₁<x₂ болған кезде f(x₁)≤f(x₂) (f(x₁)≥f(x₂)) болатын болса, онда функция осы аралықта кемімейтін (өспейтін) функция болады деп айтамыз.

Енді функцияның өспелі (кемімелі) болуының белгілерін келтірелік.

1. Егер дифференциалданатын (туындысы бар) функциясы аралығында өспелі (кемімелі) болатын болса, онда осы аралықта оның туындысы оң (теріс) болады, яғни f'(х)>0 (f'(х)<0).

2. Егер [а;b] аралығында дифференциалданатын (туындысы бар) функцияның туындысы осы аралықта оң (теріс) болатын болса, онда осы аралықта функция өспелі (кемімелі) болады.

Функция кемімейтін немесе өспейтін аралықтарды функцияның монотондық аралықтары деп айтады. Сонымен функция монтондық аралықтың бір түрінен екінші түріне көшкен кезде (мысалы өсу аралығынан кему аралығына) функцияның туындысы бар болатын болса, онда оның таңбасы өзгеруі керек екен. Функцияның туындысы нольге тең болатын, болмаса туындысы болмайтын нүктелерді критикалық; нүктелер деп атайды.

Егер мейлінше аз болатын Δx≠0 үшін f(x₁+Δx)<f(x₁) теңсіздігі орындалса, онда x₁ нүктесі функцияның локальді максимум қабылдайтын (локальді максимум) нүктесі деп аталынады. Егер x₂ нүктесі және мейлінше аз Δx≠0 үшін f(x₂+Δx)>f(х₂) теңсіздігі орындалса, онда x₂ нүктесі функциясының локальді минимум қабылдайтын (локальді минмум) нүктесі деп аталынады. Максимум мен минимумды біріктіріп экстремум деп атайды, ал функцияның максимумы мен минимумын функцияның экстремальдық мәндері деп атайды.

Теорема 1 (локальдік экстремум болуының қажетті шарты). Егер y=f(х) функциясы х=х₀ нүктесінде экстремум қабылдайтын болса, онда иә f'(х₀)=0, иә f'(х₀) болмайды.

Яғни локальдік экстремум қабылданатын нүктеде функцияның бірінші ретті туындысы нольге тең болады, немесе ол нүктеде функцияның туындысы болмайды (дифференциалданбайды).

Экстремум қабылданатын нүктеде функцияның туындысы бар болатын болса, онда осы нүктедегі функция графигінің жанамасы абсцисса осіне параллель болады.

Теорема 2 (локальдік экстремум болуының бірінші жеткілікті шарты). у=f(х) функциясы х=х₀ критикалық нүкте жатқан бір аралықта үзіліссіз болып, осы аралықта туындысы бар болсын (критикалық нүктеде туындысы жоқ болуына болады). Егер х<х₀ болғанда f'(х)>0 болып, ал х>х₀ болғанда f'(х)<0 болса, онда х=х₀ нүктесінде функцияның максимумы бар; ал х<х₀ болғанда f'(х)<0 болса, х>х₀ болғанда f'(х)>0 болса, онда х=х₀ нүктесінде функцияның минмумы бар.

Яғни туындысы бар функцияның туындысы критикалық нүктеден өткен кезде оның туындысы таңбасын плюстен минуске өзгертсе критикалық нүктеде максимум қабылдайды, ал туындының таңбасы керісінше өзгерсе онда критикалық нүктеде минимум қабылдайды екен.

Теорема 3 (функцияның локальдік экстремумы болуының екінші жеткілікті шарты). у=f(х) функциясының х=х₀ нүктесінде екінші ретті туындысы бар, және f'(х₀)=0 болсын. Онда, егер f”(х₀)<0 болса, х=х₀ нүктесінде функция локальдік максимум қабылдайды, егер f”(х₀)>0 болса осы нүктеде локальдік минимум қабылдайды.

Егер f”(х₀)=0 болса х=х₀ нүктесінде экстремум бар да, жоқ та болуы мүмкін.

Егер y=f(х) функциясының (а;b) аралығындағы графигі осы аралықтағы жанамаларының үстіне орналасса, онда функция осы аралықта ойыс болады дейді, ал егер осы аралықта өзінің жанамаларының астына орналасса дөңес болады дейді.

Егер М(х₀,f(х₀)) нүктесі функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін ажыратып тұрса, яғни М(х₀,f(х₀)) нүктесінің бір жағында дөңес, ал екінші жағында ойыс, немесе керісінше болса, онда М(х₀,f(х₀)) нүктесін функция графигінің иілу нүктесі деп атайды.

Теорема 4 (функция графигінің дөңес (ойыс) болуының жеткілікті шарты). Егер (а;b) интервалының барлық нүктелерінде у=f(x) функциясының екінші ретті туындысы теріс (оң) болатын болса, яғни f”(х)<0 (f”(x)>0) болса, онда у=f(x) функциясының графигі осы аралықта дөңес (ойыс) болады.

Иілу нүктесінен өткен кезде функцияның екінші ретті туындысы өзінің таңбасын өзгертеті болғандықтан иілі нүктесінде екінші ретті туынды иә нольге тең болады, иә иілу нүктесінде функцияның екінші ретті туындысы болмайды.

Теорема 5 (иілу нүктесінің жеткілікті белгісі). Егер х=х₀ нүктесінде иә f”(х₀)=0, иә f”(х₀) жоқ болса, осы нүктеден өткен кезде f”(х) таңбасын өзгертетін болса, онда х=х₀ нүктесі функция графигінің иілу нүктесі болады.

Егер у=f(x) функциясының графигінің М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда бір L түзуінен ара қашықтығы нольге ұмтылса, онда L түзуін у=f(x) функциясының асимптотасы деп атайды. Бұл анықтамадан тек қана графигінің шексіздіке кетіп жатқан тармағы бар функциялардың ғана асимптотасы бар екендігін көреміз.

Егер

шартын қанағаттандыратын х=x_i (i=1,…,n) нүктелер бар болса, онда х=x_i түзулері у=f(х) функциясының графигінің вертикаль асимптоталары деп аталынады. Вертикаль асимптоталары функция мәні шексіздікке ұмтылатын үзіліс нүктелері болады.

Егер

шектері бар болса, онда у=kх+b түзуі у=f(х) функциясының графигінің көлбеу асимптотасы деп аталынады (k=0 болғанда көлбеу асимптота горизонталь түзу болады).

х→±∞; кезінде k мен b -ның екі мәндерін алуымыз мүмкін.

Функцияны толық зерттеп оның графигін салуды төмендегі схемамен жасаған дұрыс болады.

1. функцияның анықталу обылысын табу керек;

2. функцияның үзіліс нүктелерін табу керек, сонымен қатар функция графигінің координаталар осімен қиылысу нүктесін, егер бар болса вертикаль асимптоталарын табу керек;

3. функция тақ, жұп функция бола ма, соны анықтау керек, егер периодты функция болатын болса периодын табу керек;

4. функцияны монтондыққа және экстремумге зерттеу керек;

5. функция графигінің дөңестік пен ойыстық аралықтарын, иілу нүктесін табу керек;

6. функция графигінің асимптоталары бар болса оларды табу керек;

7. функцияның кей нүктелеріндегі мәндерін есептеп табу керек (функция графигінің дәлдігін күшейте түсу үшін неғұрлым көбірек міндерді есептеген дұрыс болады);

8. функция графигін салу керек.