Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Анықталған интегралды қолдану мысалдары






 

Анықталған интегралдың анықтамасынг берген кезде біз оның қисық сызықты трапецияның ауданын есептеуде қолданатынын көрген болатынбыз. Яғни y=f(x) қисық сызықты трапецияны анықтап тұрған қисықтың теңдеуі болатын болса, онда осы трапецияның ауданы S (y≥0 деп есептелік) функциясынан a -дан b -ға дейін (a мен b сандары (a<b) қисық сызықтың басы мен соңының абсциссалары) есептелген анықталған интегралына тең болады:

Енді қисық сызықты трапецияны анықтап тұрған қисық өзінің параметрлік теңдеуімен берілсін x=ϕ(t), y=ψ(t), онда x=ϕ(t) формуласы бойынша анықталған интегралда интеграл айнымалысына алмастыру енгізсек мынандай анықталған интеграл аламыз:

мұнда t айнымалысы t1 және t2 сандарының арасында өзгерген кезінде қисықтың барлық нүктелерін аламыз.

Мысал. Мына эллипс

шектеп тұрған фигураның ауданын табыңыз.

Шешімі. Эллипстің жоғарғы жартысының ауданын есептеп 2 санына көбейтеміз. Сонымен:

Бұл ауданды есептегенде эллипстің параметрлік теңдеуін қолдану қолайлвһырақ болады: x=acost, y=bsint. Сонда

Енді фигураны шектеп тұрған сызық полярлық координаталар системасындағы теңдеуімен берілген жағдайды қаралық. Бұл жағдайда қисық сызықты трапецияның орнына қисық сызықты сектордың ауданын есептейміз. Сектор теңдеуі r=f(ϕ) болатын қисықпен және полюстен басталатын ϕ=α, ϕ=β сәулелерімен шектелген фигура болсын. Онда бұл қисық сызықты сектордың ауданы мынаған тең болады:

Қисықтың доғасының ұзындығын есептеу. y=f(x) теңдеуімен берілген қисықта жатқан A, B нүктелерін алалық. Онда AB доғасының ұзындығы осы нүктелерді қосып тұрған, төбелері берілген қисықтың A мен B нүктелерінің аралығында орналасқан сынық сызықтың ұзындығының осы сынық сызықтың ең ұзын қабырғасының ұзындығы нольге ұмтылғандағы шегіне тең болады. Егер бұл шек бар болса оны мына формуламен есептеуге болады:

Егер қарастырып отырған қисық x=x(t), y=y(t) параметрлік теңдеулерімен берілсе (t параметрінің қисық доғасының шеттеріне сәйкес келетін параметр мәндері t1,t2 (t1<t2) болсын) доға ұзындығы былай есептеледі:

Енді қисық полярлық координаталар системасындағы теңдеуімен берілсін r=r(ϕ). Полярлық және декарттық координаталар системасының арасында x=rcosϕ, y=rsinϕ; байланысы барын ескеріп ϕ полярлық бұрышты параметр есебінде қарастырсақ мынаны аламыз: dx=(r’cosϕ-rsinϕ)dϕ, dy=(r’sinϕ+rcosϕ)dϕ. Бұдан

аламыз. Сондықтан

мұнда α; мен β; сандары полярлық бұрыштың доғаның А мен В шеттетіне сәйкес келетін мәндері.

Параллель қималардың аудандарының көмегі арқылы дененің көлемін есептеу. Бізге T денесі берілсін. 0x осіне перпендикуляр жазықтықтармен қиғандағы қималардың аудандары Q(x) белгілі болсын. Онда бұл аудандарды x -тен тәуелді Q=Q(x) функциясы ретінде қарастыруға болады. x –қиюшы жазықтықтың абсцисса осін қиып өткен нүктесінің абсциссасы. функциясы үзіліссіз функция болсын. Дене абсцисса осін x=a, x=b нүктелерінде қиып өтетін, абсцисса осіне перпендикуляр жазықтықтардың арасында орналассын. Онда қарастырыпи отырған көлем мына формуламен есептеледі:

Айналу денесінің көлемі мен оның бетінің ауданы. Кеңістікте декарттық координаталар системасын қарастыралық. 0xy жазықтығында теңдеуі y=f(x) болатын x=a, x=b түзулерімен шектелген қисық сызықты трапецияны қарастыралық. Осы трапецияны 0x осін айналдыра толық шеңбер жасата бұрсақ айналу денесін аламыз. Бұл дененің 0x осіне перпендикуляр қималарының бәрі де центрі 0x осінде жататын дөңгелектер болады. Бұл дененің көлемі

формуласымен есептеледі. Ал осы айналудан шыққан беттің ауданы мына формуламен есептеледі:

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 4168. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Примеры решения типовых задач. Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2   Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2. Найдите константу диссоциации кислоты и значение рК. Решение. Подставим данные задачи в уравнение закона разбавления К = a2См/(1 –a) =...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2023 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия