Көп айнымалының функциясы ұғымы. Көп айнымалының функциясының шегі, үзіліссіздігі

 

Осы уақытқа дейін біз тек қана бір айнымалының функциясымен, яғни тек қана бір тәуелсіз айнымалыдан тәуелді болатын функциямен жұмыс істедік. Өмірде кездесетін көп жағдайда функция бір емес бірнеше тәуелсіз өзгеретін айнымалыдан тәуелді болуы мүмкін. Мысалы тік төртбұрыштың ауданы екі айнымалыдан – тік төртбұрыштың ұзындығы мен енінен тәуелді, ал параллелепипедтің көлемі үш айнымалыдан тәуелді. Мұндай мысалдарды көптеп келтіре беруге болады.

Біз енді көп айнымалының функциясының ұғымын енгізелік. Анықтамаларды екі айнымалы үшін келтіреміз, оларды айнымалылар саны екеуден көп болған кезге таратудың ешқандай қиындығы жоқ.

Анықтама. Егер бірінен бірі тәуелсіз өзгеретін екі x, y айнымалыларының D обылысында жатқан кез-келген мәніне бір z саны сәйкестікке қойылса, онда біз D обылысында анықталған x, y тәуелсіз екі айнымалыларының функциясы z беріліп тұр деп айтамыз.

Екі айнымалының функциясын символды түрде z=f(x,y) деп белгілейміз.

Анықтама. z=f(x,y) функциясы анықталып тұрған (x,y) парларының жиынын функцияның анықталу обылысы деп атаймыз.

0xy жазықтығында берілген D обылысы анықталу обылысы болатын екі айнымалының

z=f(x,y) (1)

функциясы берілсін. Енді координаталар системасын 0xyz координаталар системасына толықтыралық. Анықталу обылысының әр нүктесінен 0xy жазықтығына перпендикуляр тұрғызып осы перпендикулярға 0xy жазықтығынан бастап есептегенде ұзындығы f(x,y) болатын кесінді салалық (f(x,y) шамасының таңбасы ескеріледі). Осы кесінділердің ұштарының координаталары 0xyz координаталар системасында (x,y,z=f(x,y)) болады. Осы нүктелердің жиыны z=f(x,y) функциясының графигі деп аталады. (1) теңдеу кеңістікте бет анықтайды, сондықтан екі айнымалының функциясының графигі бет болады. Екі айнымалының функциясының анықтамасы бойынша әрбір (x,y) парына тек бір ғана z сәйкес келетін болғандықтан 0xy жазықтығына тұрғызылған перпендикулярлар бетті тек бір ғана нүктеде қиып өтеді.

Бізге (1) функция берілсін. x айнымалысына Δx өсімшесін берелік (y айнымалысын тұрақты деп есептейміз), сонда z айнымалысы да бір өсімше алады, ол өсімшені z функциясының x бойынша дербес өсімшесі деп атайды да Δ_xz деп белгілейді, яғни Δ_xz=f(x+Δx,y)-f(x,y). Тап осы сияқты етіп, x айнымалысы тұрақты деп есептеп y айнымалысына өсімше беру арқылы z функциясының y бойынша дербес өсімшесін анықтауға болады. Бұл өсімшені Δ_yz деп белгілейміз. Енді x аргументіне Δx өсімшесін, y аргументіне Δy өсімшесін берелік, сонда z функциясы Δz өсімшесін алады, оны біз z функциясының толық өсімшесі деп атаймыз. Сонымен толық өсімше Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) болады.

Бізге M₀(x₀,y₀) нүктесі берілсін. Мына

шартты қанағаттандыратын барлық (x,y) нүктелерінің жиынын M₀(x₀,y₀ нүктесінің r аймағы деп атайды.

Енді көп айнымалының функциясының шегі ұғымын енгізелік. Бізге жазықтықтың обылысында анықталған (1) функциясы берілсін. M₀(x₀,y₀) нүктесі G обылысында, немесе оның шекарасында жатқан нүкте болсын.

Анықтама. Бізге A саны мен анықталу обылысында, немесе оның шекарасында жатқан M₀(x₀,y₀) нүктесі берілсін. Егер кез-келген ε>0 саны үшін r>0 саны табылып MM₀<r шартын қанағаттандыратын M(x,y) нүктелер үшін

|f(x,y)-A|<ε;

теңсіздігі орындалатын болса, онда A санын M нүктесі M₀ нүктесіне ұмтылғандағы (1) функциясының шегі деп атап былай жазамыз.

Анықтама. M₀(x₀,y₀) нүктесі f(x,y) функциясының анықталу обылысында жатсын. Егер

теңдігі орындалатын болса f(x,y) функциясы M₀(x₀,y₀) нүктесінде үзіліссіз деп атайды.

x=x₀+Δx, y=y₀+Δy деп белгілесек (2) өрнекті былай

немесе былай

жазуға болады.

Егер функция анықталу обылысының барлық нүктелерінде үзіліссіз болатын болса оны үзіліссіз функция дейді.

Егер M₀(x₀,y₀) нүктесінде функцияның үзіліссіз болу шарты орындалмаса, яғни (2) шарт орындалмаса, бұл нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды.

Үзіліссіз болу шарты, яғни (2) шарт мысалы төмендегі жағдайларда орындалмауы мүмкін:

1. z=f(x,y) функциясы M₀(x₀,y₀) нүктесінің бір аймағындағы M₀(x₀,y₀) нүктесінен басқа нүктелерде анықталған, бірақ M₀(x₀,y₀) нүктесінің өзінде анықталмаған;

2. z=f(x,y) функциясы M₀(x₀,y₀) нүктесінің аймағының барлық нүктесінде анықталған, бірақ мына шек жоқ:

3. функция M₀(x₀,y₀) нүктесінің аймағының барлық нүктесінде анықталған, төмендегі шек бар

бірақ

Анықталу обылысын құрап тұрған кей жиындарда көп айнымалының функциясының кей қасиеттері бір айнымалының функциясының қасиеттеріне ұқсас болады. Мысало Больцано-Коши мен Вейерштрасстың теоремалары.

1. Егер z=f(x,y) функциясы шектелген жабық обылыста үзіліссіз болатын болса, онда ол осы обылыста шектелген функция болады.

2. Егер z=f(x,y) функциясы шектелген жабық обылыста үзіліссіз болатын болса, онда ол өзінің осы обылыстағы ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

3. Егер z=f(x,y) функциясы бір обылыста үзіліссіз болатын болса, ол осы обылыста кез-келген екі мәнінің арасындағы барлық мәндерді қабылдайды.