Элементарлық әдістермен интегралданатын жай дифференциалдық теңдеудің кей түрлері
Кей жағдайда дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазған қолайлы болады: M(x,y)dx+N)x,y)dy=0. Егер M(x,y), N(x,y) функцияларын тек қана x немесе y айнымалылардан ғана тәуелді болатын көбейткіштерге жіктей алсақ, дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазуға болады: f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0. (1) g1(y)≠0, f2(x)≠0 деп есептеп дифференциалдық теңдеуді олардың көбейтіндісіне бөлсек теңдеу түрі төмендегідей болады: Бұл дифференциалдық теңдеуді интегралдап оның жалпы интегралын мына түрде жазуға болады: Берілген (1) дифференциалдық теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп атайды. Егерде кез-келген t үшін f(tx,ty)=tαf(x,y) теңдігі орындалса, онда f(x,y) функциясы х және у аргументтері бойынша α (α=const) өлшемді біртектес функция деп аталады. Егер α=0 болса, онда біртектестік өлшемі ноль болады. Егер M(x,y) және N(x,y) функциялары х және у аргументтері бойынша өлшемдері бірдей біртектес функциялар болса, яғни M(tx.ty)=tαM(x,y), N(tx,ty)=tαN(x,y) болса, онда M(x,y)dx+N)x,y)dy=0 дифференциалдық теңдеуі біртектес дифференциалдық теңдеу деп аталынады. Дифференциалдық теңдеуді мына түрге келтірелік: Онда f(x,y) функциясы өлшемі ноль болатын біртектес функция боладың шынында Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу біртектес болған кезде оны түрінде жазуға болатындықтан, белгілеуін енгізіп теңдеуді мына түрге келтіруге болады: Бұл теңдеуде z=y/x, y=zx, y’=z’x+z белгілеуін қолдансақ айнымалылары ажыратылған теңдеуге келеді: Айнымалыларды ажыратып, шыққан теңдеуді интегралдап, бұрынғы белгілеулерге қайта оралу арқылы әуелгі біртектес теңдеудің жалпы интегралын табамыз. Егер дифференциалдық теңдеу y’+p(x)y=q(x) түрінде болса, онда оны сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды. Егер q(x)=0 болса, сызықтық дифференциалдық теңдеуді біртектес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды, олай болмаған жағдайда теңдеу біртектес емес сызықтық теңдеу деп аталады. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді y=uv (u және v белгісіз функциялар) белгілеулерін енгізу арқылы шешіп жалпы шешімін мына түрде алады:
|