Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы

 

Мынандай мысал қарастыралық. Жәшікте жақсылап аралыстырылған 6 бірдей шар болсын, олардың 2 – қызыл, 3-көк және 1-ақ. Әрине, жәшіктен кездейсоқ әдіспен бір шар алсақ оның боялған (қызыл немесе көк) шар болуының мүмкіндігі оның ақ шар болу мүмкіндігінен анағұрлым көп.

Енді біз алдымызға осы кездейсоқ әдіспен алынған шардың боялған шар болуының мүмкіндігін бір сан арқылы бағалау керек деген мақсат қоялық. Боялған шар алыну оқиғасын A әрпімен белгілелік. Сынақ нәтиежесінде орындалатын мүмкін оқиғаларды элементарлық мүмкіндіктер делік. Элементарлық мүмкіндіктерді E₁, E₂, E₃, E₄, E₅, E₆ әріптермен белгілелік. Бізде барлығы 6 элементарлық мүмкіндіктер бар. Олар E₁ - ақ шар алынды, E₂, E₃ - қызыл шар алынды, E₄, E₅, E₆ - көк шар алынды.

Элементарлық мүмкіндіктер жалғыз мүмкіндікті оқиғалар болып тұр, сынақ нәтиежесінде бір шар міндетті түрде алынады. Олар сонымен қатар тең мүмкіндікті оқиғалар болады, шарлар жақсылап аралыстырылған дегенбіз.

Бізге керек нәтиежелер шығатын мүмкіндіктерді оқиғасына қолайлы элементарлық мүмкіндіктер, қолайлы элементарлық оқиғалар делік. Біздің мысалымызда олар E₂, E₃, E₄, E₅, E₆.

A оқиғасына қолайлы мүмкіндіктер санының барлық элементар мүмкіндіктер санына қатынасын P(A) деп белгілелік. Біз қарастырып отырған мысалда барлық элементар мүмкіндіктер саны 6, ал A оқиғасына қолайлы мүмкіндіктер саны 5. Сондықтар P(A)=5/6.

Осы есептелген сан боялған шардың жәшіктен алыну мүмкіндігін сипаттай алатын сан, біздің алдымызға қойған мақсатымыз осындай сипаттама санды табу болатын.

Енді ықтималдылықтың анықтамасын берелік.

Анықтама. A оқиғасының ықтималдылығы деп осы оқиғаның болуына қолайлы элементар мүмкіндіктер санының жалғыз мүмкіндікті және тең мүмкіндікті болатын барлық элементар мүмкіндіктер санына қатынасын айтамыз.

Сонымен, A оқиғасының ықтималдылығы мына формуламен анықталады екен

мұнда m - саны оқиғасының орындалуына қолайлы болатын элементар мүмкіндіктер саны, ал n - саны барлық элементар мүмкіндіктер саны. Біз мұнда элементар мүмкіндіктер жалғыз мүмкін және тең мүмкіндікті оқиғалар деп отырмыз.

Анықтамадан ықтималдылықтың мына қасиеттерін аламыз.

Ақиқат оқиғаның ықтималдылығы бірге тең;. Шынында, егер оқиға ақиқат болса, онда элементар мүмкіндіктің қайсысы болса да ақиқат оқиғаға қолайлы болады, сондықтан m=n, демек, P(A)=m/n=n/n=1.

Жалған оқиғаның ықтималдылығы нольге тең;. Шынында, егер оқиға жалған болса, онда элементарлық мүмкіндіктердің ешқайсысы да оған қолайлы емес. Сондыұтан m=0, демек P(A)=m/n=0/n=0.

Кездейсоқ оқиғаның ықтималдылығы ноль мен бір санының арасындағы сан болады. Шынында, кездейсоқ оқиғаға барлық элементар оқиғалардың тек бір бөлігі ғана қолайлы болады. Сондықтан 0<m<n, демек 0<m/n<1, олай болса 0<P(A)<1.

Сонымен кез-келген оқиға үшін мына теңсіздік орындалады екен

0≤P(A)≤1.

Статистикалық ықтималдылық;

 

Оқиға орындалған сынақтардың сандарының барлық жүргізілген сынақтар санына қатынасын оқиғаның салыстырмалы жиілігі дейді. Сонымен A оқиғасының салыстырмалы жиілігі W(A)=m/n формуласымен анықталады екен, мұнда m - оқиға орындалған сынақтар саны, n - барлық жүргізілген сынақтар саны.

Ықтималдылықтың классикалық анықтамасында сынақтар шын мәнінде жүргізілуі талап етілмейді. Ал салыстырмалы жиілік тек шын мәнінде жүргізілген сынақ нәтиежесінде анықталады. Сонымен ықтималдылық сынаққа дейін, ал салыстырмалы жиілік сынақтан кейін белгілі болады екен.

Көптеген жүргізілген сынақтар нәтиежесінде, және де статистикалық деректерді талдап қарағанда салыстырмалы жиілік өзінің тұрақтылығын аңғартады. Яғни әртүрлі тәжірибелердің нәтиежесін қарағанда салыстырмалы жиілік сынақтар саны өзгергенде (сынақтар көп жүргізілген кезде) бір санның айналасында болып, сол саннан көп ұзап кетпейді екен. Ол сан осы салыстырмалы жиілігін зерттеп отырған оқиғаның ықтималдылығы екен.

Сонымен көптеген тәжірибелердің нәтиежесін қорытындылағанда, салыстырмалы жиілікті ықтималдылықтың жуық мәні ретінде қабылдауға болатындығы белгілі болды.