Ықтималдылықтарды қосу және көбейту теоремалары

 

A және B оқиғаларының екеуінің біреуі немесе екеуінің де қатар орындалуынан тұратын оқиғаны осы екі оқиғаның қосындысы деп атап A+B белгілейміз.

Мысалы зеңбірек екі рет атқан болсын, A - оқиғасы бірінші снаряд нысанаға тиді деген, ал B - оқиғасы екінші снаряд нысанаға тиді деген оқиға болсын. Онда A+B - оқиғасы бірінші снаряд, немесе екінші снаряд, немесе екі снарядтың екеуі де нысанаға тиді деген оқиға болады.

Егер A және B оқиғалары үйлесімсіз оқиғалар болатын болса, онда A+B оқиғасында осы екі оқиғаның тек қана біреуі орындалады. Екеуі қатар орындалуы мүмкін емес, себебі олар үйлесімсіз оқиғалар.

Бізге A және B үйлесімсіз оқиғалары берілсін, олардың ықтималдылықтары белгілі болсын. Онда A оқиғасы, немесе B оқиғасы орындалады деген оқиғаның ықтималдылығын қалай табуға болады деген сұрақ туады. Бұл сұраққа төмендегі теорема жауап береді.

Теорема. Екі үйлесімсіз оқиғаның тек қана біреуінің орындалуы деген оқиғаның ықтималдылығы мына формуламен есептеледі.

P(A+B)=P(A)+P(B).

Сынақ нәтиежесінде орындалатын жалғыз мүмкіндікті оқиғалар жиынын оқиғалардың толық группасы дейді.

Мысал. Мерген нысананы екі рет атқан болсын. A₁ (бір оқ нысанаға тиді) оқиғасы, A₂ (екі оқ нысанаға тиді) оқиғасы, A₃ (нысанаға оқ тиген жоқ) оқиғалары оқиғалардың толық группасын құрады.

Теорема. Оқиғалардың толық группасын құрайтын A₁, A₂, …, A_n оқиғаларының ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең.

P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1

Егер оқиғалардың толық группасын құрайтын екі үйлесімсіз оқиғалар берілсе, онла бұл оқиғаларды қарама қарсы оқиғалар дейміз. Егер олардың біреуін A әрпімен белгілейтін болсақ, екіншісі Ā; әрпімен белгіленеді.

Мысалы бір рет оқ атқанда A - оқиғасы оқ нысанаға тиді деген оқиға болатын болса, онда Ā; оқиғасы оған қарама-қарсы оқиға. Бұл екі оқиғаны қарама – қарсы оқиғалар дейді. A оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны Ā; деп белгілейміз.

Теорема. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең

P(A)+P(Ā)=1.

Егер екі оқиғаның әрқайсысының ықтималдылығы екінші оқиғаның орындалған орындалмағанынан тәуелсіз болса, ондай оқиғаларды тәуелсіз оқиғалар дейміз.

Мысал. Монета 1 рет лақтырылады. Бірінші лақтырылғанда монетаның шік түсуінің (A оқиғасы) ықтималдылығы екінші рет лақтырылғанда оның шік түсуінің немесе түспеуінің (B оқиғасы) тәуелсіз. Сонымен қатар монета екінші рет лақтырылғанда оның шік тусуінің немесе түспеуінің ықтималдылығы монета бірінші рет лақтырылғанда оның шік түскен түспегенінен тәуелсіз. Сондықтан A және B оқиғалары тәуелсіз оқиғалар болады.

Егер бірнеше оқиғаны қос-қостан тәуелсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан тәуелсіз оқиғалар дейміз.

Мысал. Монета 3 рет лақтырылды. A, B, C оқиғалары сәйкес бірінші, екінші, үшінші сынақта монетаның шік түсуі деген оқиғалар болсын. Олпарды қос-қостан қарағанда тәуелсіз болады (A және B, A және C, B және C). Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан тәуелсіз оқиғалар болады.

Егер екі оқиғаның бірінің орындалу ықтималдылығы екінші оқиғаның орындалған орындалмағанына байланысты болса, мұндай оқиғаларды тәуелді оқиғалар дейміз.

Мысал. Жәшікте 100 шар бар, олардың ішінде 80 шар ақ, 20 шар көк. Жәшіктен бір шар алынады, бірақ оны жәшікке қайта салмайды. Егер алынған шар ақ болса (A оқиғасы), онда жәшіктен алынатын екінші шардың ақ болуының (B оқиғасы) ықтималдылығы P(B)=79/99, ал бірінші алынған шар көк болса, онда P(B)=80/99.

Сонымен B оқиғасының орындалу ықтималдылығы A оқиғасының орындалған орындалмағандығына байланысты екен. Сондықтан A және B оқиғалары тәуелді оқиғалар болады.

A және B оқиғаларының бірге орындалуынан тұратын оқиғаны осы оқиғалардың көбейтіндісі деп айтамыз да AB деп белгілейміз.

Мысал. Жәшікте №1, №2 заводтарда жасалған детальдар бар болсын. A арқылы жәшіктен стандарт деталь алыну оқиғасын, ал B арқылы алынған детальдың №1 заводта жасалған болуы оқиғасын белгілейік. Сонда AB дегеніміз алынған детальдың заводтан шыққан стандарт деталь болуы оқиғасы.

Теорема. Екі тәуелсіз оқиғаның бірге орындалуының ықтималдылығы олардың әрқайсысының орындалу ықтималдылықтарының көбейтіндісіне тең болады.

P(AB)=P(A)·P(B).

Теорема. A₁, A₂, …, A_n оқиғалары тәуелсіз оқиғалар болсын, A осы оқиғалардың ең болмағанда біреуі орындалады деген оқиға болсын. Онда

P(A)=1-q₁q₂…q_n.

Мұнда q_i=1-p_i дегеніміз Ā_i оқиғасының, p_i дегеніміз A_i оқиғасының орындалу ықтималдылығы, i=1,2,…,n.

Теоремадан, егер оқиғаларының әрқайсысының орындалу ықтималдылықтары бірдей санына теңболса, онда осы оқиғалардың ең болмағанда біреуінің орындалу ықтималдылығы мынадай болады

P(A)=1-qⁿ.

A және B оқиғалары тәуелді оқиғалар болсын. Анықтамадан бұл жағдайда оқиғалардың бірінің орындалу ықтималдылығы екінші оқиғаның орындалу орындалмауына байланысты екені шығады. Сондықтан бізге B оқиғасының ықтималдылығын есептеу үшін A оқиғасының орындалған орындалмағанын білу керек болады.

A оқиғасы орындалды деп есептеген кездегі B оқиғасының орындалу ықтималдылығы P_A(B) шартты ықтималдылығы деп аталады.

A және B оқиғалары тәуелді оқиғалар болсын, олардың орындалу ықтималдылықтары P(A) және P_A(B) белгілі болсын. Осы мәліметтерді пайдалана отырып A және B оқиғаларының бірге орындалуының, яғни AB оқиғасының қалай есептелетіндігі келесі теоремадан шығады.

Теорема. Екі тәуелді оқиғаның бірге орындалуының ықтималдылығы олардың біреуінің орындалу ықтималдылығы мен екінші оқиғаның алдыңғы оқиға орындалды деп есептегендегі шартты ықтималдылығымен көбейтіндісіне тең болады, яғни

P(AB)=P(A)·P_A(B).

Біз тақырыптың бас жағында үйлесімсіз оқиғалардың қосындысының ықтималдылығы қалай есептелетіндігін көрсеткен болатынбыз. Енді үйлесімді оқиғалардың қосындысы қалай есептелетіндігі туралы айталық.

Егер екі оқиғаның бірінің орындалуы екінші оқиғаның да осы сынақта орындалуына кедергі келтірмейтін болса, бұндай оқиғаларды үйлесімді оқиғалар дейді.

Мысал. A деп ойын сүйегін лақтырғанда төрт ұпай түсуі деген оқиға болсын. B арқылы ойын сүйегін лақтырғанда түскен ұпайдың жұп болуы оқиғасы болсын. Бұнда A және B оқиғалары үйлесімді оқиғалар.

A және B оқиғалары үйлесімді оқиғалар болсын, олардың әрқайсысының орындалу ықтималдылықтары, олардың бірге орындалуы ықтималдылығы белгілі болсын. Онда A+B оқиғасының, яғни A және B оқиғаларының ең болмағанда біреуінің орындалуының қалай есептелетіндігі келесі теоремада көрсетілген.

Теорема. Екі үйлесімді оқиғалардың ең болмағанда біреуінің орындалу ықтималдылығы төмендегі формуламен есептеледі

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).