Екі айнымалының функциясының экстремумы

 

Анықтама. Егер M(x₀,y₀) нүктесінің аймағында жатқан (x,y) нүктелер үшін

теңсіздігі орындалатын болса, онда f(x,y) функциясы M(x₀,y₀) нүктесінде локальдік максимум қабылдайды деп айтамыз.

Анықтама. Егер M(x₀,y₀) нүктесінің аймағында жатқан (x,y) нүктелер үшін

теңсіздігі орындалатын болса, онда f(x,y) функциясы M(x₀,y₀) нүктесінде локальдік минимум қабылдайды деп айтамыз.

Макксимум мен минимумды біріктіріп экстремум деп айтады, яғни берілген нүктеде функция экстремум қабылдайды деген сөз осы нүктеде функция иә максимум, иә минимум қабылдайды деген сөзге парапар.

Максимум мен минимумға келтірілген жоғарыдағы анықтаманы өсімше ұғымын пайдаланып басқаша айтуға болады. Егер x=x₀+Δx; y=y₀+Δy; болса, онда f(x,y)-f(x₀,y₀)=f(x₀+Δx,y₀+Δy)-f(x₀,y₀)=Δf болады.

1. Егер тәуелсіз айнымалының мейлінше аз өсімшелерінде Δf<0 болса, онда M(x₀,y₀) нүктесінде f(x,y) функциясы локальдік максимум қабылдайды;

2. Егер тәуелсіз айнымалының мейлінше аз өсімшелерінде Δf>0 болса, онда M(x₀,y₀) нүктесінде f(x,y) функциясы локальдік минимум қабылдайды;

Бұл анықтамаларды ешқандай өзгертусіз тәуелсіз айнымалыларының саны екеуден көп болған функциялар үшін де айтуға болады.

Теорема. (Экстремум болуының қажетті шарты). Егер z=f(x,y) функциясы x=x₀, y=y₀ болғанда экстремум қабылдайтын болса, онда z функциясының әрбір дербес туындысы осы нүктеде иә нольге тең болады, иә осы нүктеде ол туындылар болмайды.

Жалпы бұл теоремадағы шарт жеткілікті шарт емес, яғни қарастырып отырған нүктеде теорема шарты орындалғанмен ол нүктеде экстремум болмауы мүмкін.

Функцияның дербес туындылары z_x, z_y иә нольге тең, иә болмайтын нүктелерді функцияның критикалық нүктелері деп атайды. Сонымен жоғарыда айтылған теорема бойынша, егер функция бір нүктеде экстремум қабылдайтын болса бұл нүкте критикалық нүкте болады.

Теорема. M₀(x₀,y₀) нүктесі жатқан обылыста f(x,y) функциясының үшінші ретке дейін (қосып айтқанда) үзіліссіз дербес туындылары бар болсын, сонымен қатар M₀(x₀,y₀) нүктесі f(x,y) функциясының критикалық нүктесі болсын, яғни

Онда x=x₀, y=y₀ болғанда

1.

болса f(x,y) функциясы максимум қабылдайды;

2.

болса f(x,y) функциясы минимум қабылдайды;

3.

болса f(x,y) функциясы бұл нүктеде максимум да, минимум да қабылдамайды;

4.

болса бұл нүктеде f(x,y) функциясының максимумы да, минимумы да болуы мүмкін.