Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями теплового руху

Завдяки безладним рухам молекул і завдяки взаємним зіткненням молекул під час цього руху кожна молекула зокрема може змінювати свою швидкість як за величиною, так і за напрямком. Тому в газі будуть як швидкі, так і повільні молекули. Але, хоча швидкості окремих молекул змінюються, властивості газу у стані термодинамічної рівноваги загалом при цьому не змінюються: параметри системи залишаються сталими. Зумовлено це тим, що швидкості газових молекул підлягають
певному законові, тобто, незважаючи на повну хаотичність молекулярних рухів, розподіл молекул за швидкостями виявляється не випадковим, а цілком визначеним. До того ж він є однозначним і єдино мож­ливим.

Дж. Максвелл теоретично розв’язав задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями поступального руху. Він встановив закон, що дає змогу визначити, яка кількість молекул dn із загальної кількості n молекул ідеального газу в одиниці об’єму мають при даній температурі швидкості, які лежать в інтервалі від до . Дж. Максвелл вважав, що газ складається з великої кількості n однакових молекул, температура в усіх частинах посудини з газом теж однакова і відсутні зовнішні дії на газ.

Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на нескінченно малі інтервали, які дорівнюють , то на кожний інтервал швидкості припадатиме деяка кількість молекул , що мають швидкість в інтервалі .

Закон Максвелла описується деякою функцією , що називається
функцією розподілу молекул за швид­костями руху. Ця функція визначає відносну кількість молекул , швидкості яких лежать в інтервалі від до , тобто

, звідси .

Добуток – це ймо­вірність того, що величина швидкості окремої молекули знаходиться між і .

Застосовуючи методи теорії ймо­вірності, Максвелл знайшов функцію у такому вигляді:

.

Конкретний вигляд функції залежить від роду газу і від параметра стану . Графік функції наведений на рис. 55. Функція починається від нуля, досягає максимуму, а потім асимптотично прямує до нуля. Крива несиметрична відносно максимального значення . Відносна кількість молекул , швидкості яких лежать в інтервалі від до , числово дорівнює площі заштрихованої ділянки на рис. 55.

Вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, числово дорівнює числу молекул, швидкості яких мають різні значення від 0 до ∞. Оскільки цю умову задовольняють всі n молекул, то площа, що розглядається, дорівнює одиниці:

.

Швидкість, при якій макси­мальна, називається найімовірнішою швидкістю . Для знаходження використаємо умову максимуму функції :

.

Звідси,

,

оскільки

, .

Середня арифметична швидкість молекул визначається за формулою

.

Підставляючи сюди й інтегруючи, отримаємо

.

Отже, є три швидкості, які характеризують стан газу (рис. 55):