Рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу для тиску

Основне рівняння молекулярно-кі­нетичної теорії пов’язує параметри стану газу з характеристиками руху його молекул, тобто встановлює залежність між тиском і об’ємом газу та кінетичною енергією поступального руху його молекул.

Тиск газу в посудині є результатом зіткнення молекул газу із стінками посудини. Тиск газу є макроскопічним проявом руху молекул.

Розглянемо однорідний газ, який поміщений в посудину кубічної форми. Напрямимо осі системи відліку вздовж ребер куба (рис. 53). Нехай певна молекула М рухається в посудині зі швидкістю . Швидкість можна розкласти на три складові вздовж координатних осей:

.

Виділимо на стінці посудини елементарну площадку , яка перпендикулярна до осі . При кожному зіткненні молекула передає площадці імпульс , де – маса молекули. За час площадки досягнуть лише ті молекули, які знаходяться в об’ємі циліндра з основою і висотою . Кількість цих молекул дорівнює , де – кількість молекул в одиниці об’єму газу. З них тільки половина потрапляє на площадку .
Решта через повну безладність молекулярних рухів рухається не до стінки, а від неї. За час об площадку ударяються молекул газу.

Нехай з кількості молекул, що є в одиниці об’єму, молекул має швидкість , де так що

.

Тоді кількість ударів молекул в площадку за час дорівнюватиме:

,

.

При зіткненні з площадкою ці молекули передають їй імпульс:

,

,

...

.

Загальний імпульс, переданий всіма молекулами площадці,

.

Тиск газу на площадку

,

де враховано, що імпульс сили дорівнює зміні імпульсу молекул:

.

Так само тиск на будь-яку площадку, яка перпендикулярна до осей і , визначається рівностями:

, .

Зважаючи на цілковиту хаотичність рухів молекул, тиск газу в будь-якому напрямку повинен бути однаковий, тобто

.

Додамо почленно рівняння для , і :

.

Через те, що

, то .

Величина – це сума квадратів швидкостей усіх молекул в одиниці об’єму газу. При великій кількості молекул немає потреби знати значення квадрата швидкості кожної молекули. Тому знайдемо середнє значення цієї величини. За визначенням

.

Величина

називається середньою квадратичною швидкістю.

В результаті тиск газу

.

Це рівняння називається основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу для тиску.

Отриману формулу перепишемо у вигляді:

,

де – середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу.

Тиск ідеального газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії молекул одиниці об’єму газу.

Оскільки густина газу

.

то тиск ідеального газу

.

Звідси

.

Ця формула показує, що середню квадратичну швидкість можна обчислити, користуючись даними вимірювань суто макроскопічних величин – тиску газу і його густини.

Враховуючи, що кінетична енергія поступального руху молекул газу , отримуємо

і .

Це рівняння перепишемо таким чином:

,

де – маса газу.

Для одного моля газу і . Тоді

.

З іншого боку, за рівнянням Клапейрона-Менделєєва

.

Отже,

і .

Оскільки

, ,

де - стала Больцмана, то

.

З рівняння Клапейрона-Менделєєва

.