Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі

Якщо на молекули не діють зовніш­ні сили, то вони рівномірно розподіляються по об’єму посудини. Однак молекули будь-якого газу завжди перебувають в полі сил тяжіння Землі. Якби не було тяжіння, то атмосферне повітря розсіялося б по всьому Всесвіту. А якби не було теплового руху молекул атмосферного повітря, то всі вони впали б на Землю. Тяжіння i тепловий рух приводять до стаціонарного стану газу, при якому його тиск i концентрація зменшується з висотою.

Розглянемо ідеальний газ, маси всіх молекул якого однакові, температура стала i який знаходиться в однорідному полі тяжіння. Якщо тиск газу на висоті h дорівнює р (рис. 57), то на висоті h+dh він дорівнює p+dp, причому при dh>0 dp<0, оскільки тиск з висотою зменшується.

Різниця тиску p і p+dp числово дорівнює вазі газу, що знаходиться в об’ємі циліндра заввишки dh, а площа основи якого дорівнює одиниці:

,

де – густина газу на висоті h.

Використаємо рівняння Клапейрона-Менделєєва

.

Звідси, густина газу

.

Тоді

або .

Вважаючи й інтегруючи по тиску від до , а по висоті від 0 до , отримуємо

, ,

звідси

, .

Ці формули називаються барометричними формулами. Із них можна зробити висновок, що тиск газу зменшується із висотою експоненціально і тим швидше, чим важчий газ (чим більше ) і чим ниж­ча температура (рис. 58).

Барометрична формула дозволяє знайти співвідношення між концентраціями газу на різній висоті. Використаємо рів­няння стану ідеального газу у вигляді , де – концентрація молекул газу. При отримуємо

,

де – концепція молекул на висоті .

Оскільки , а , то

,

де – потенціальна енергія молекул в полі тяжіння.

Із збільшенням висоти концентрація молекул газу зменшується за експоненці­альним законом (рис. 59). При високих
температурах кількість молекул n незначно зменшується з висотою і при , тобто підвищення температури викликає вирівнювання концентрації газу за висотою.

При , тобто всі молекули під дією сили тяжіння опускаються на дно посудини.

Больцман довів, що співвідношення

справедливе не тільки у випадку потенці­ального поля сил земного тяжіння, але і в довільному потенціальному полі сил для сукупності довільних однакових частинок, що знаходяться у стані хаотичного теплового руху. Тому вираз

називається розподілом Больцмана у зовнішньому потенціальному полі.

Із цього виразу видно, що чим менша потенціальна енергія молекул, тим
більша їх концентрація.

Враховуючи, що , де - число Авогадро, із розподілу Больцмана отримуємо

,

де і - концентрація молекул на рівнях і . Цей вираз закону Больцмана можна використати для експериментального визначення числа Авогадро :

.

Однак молекул газу у мікроскоп не видно. Ж. Перрен досліджував розподіл за висотою посудини найдрібніших частинок емульсії смоли гумігуту у воді. Зерна емульсії мали форму кульок діаметром близько десятих часток мікрона, їх було видно у мікроскоп.

В отриманій формулі для пот­рібно врахувати виштовхувальні сили, які діють на частинки емульсії з боку води, тобто маса

,

де - маса частинки, - маса води, яка витіснена частинкою, - радіус частинки, - густина частинки, - густина води. Отже,

.

З подібних дослідів Ж. Перрен виз­начив, що .