Студопедия — ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ






1.1. Предварительные сведения. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, причем в скобках указывается размер – количество строк и столбцов. Так, запись B(2x3) означает, что речь идет о матрице, состоящей из двух строк и трех столбцов, например . Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i -й строки и j- го столбца данной матрицы (в примере b23=5). Через Ai обозначают i-ю строку матрицы A, через Ajj-й столбец.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы квадратной матрицы A(nxn) a11, a22 ,…, ann образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется е диничной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

1.2. Арифметические действия с матрицами.Чтобы умножить матрицу A(mxn) на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A(mxn), B(mxn) (одного и того же размера!), необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

При этом речь идет об алгебраической разности, т.е. при вычислении A-B находим разность элементов, стоящих на одинаковых местах.

Пример 1.1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число "2", затем находим разность:

Произведение AB можно определить только для матриц размера A(mxn), B(nxp), при этом AB=C, матрица C имеет размер C(mxp) и ее элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е. (i=1,2,...,m; j=1,2,...,p). Фактически каждую строку матрицы A необходимо скалярно умножить на каждый столбец матрицы B

Пример 1.2. Найти AB и BA для и .

Решение. Размеры матриц 2х2, поэтому оба произведения определены:

Как видно, , т.е. эта операция не коммутативна.

Матрицей, транспонированной к матрице A(mxn), называется матрица AT(nxm), строки которой являются соответствующими столбцами исходной матрицы. Например, если , то .

Пример 1.3. Вычислить AB+2CT, если , , .


Решение. Учитывая все правила действий с матрицами, получаем:

1.3. Элементарные преобразования матриц.К таким преобразованиям матриц относятся следующие действия:

1) перемена местами двух строк матрицы (краткая запись: );

2) вычеркивание нулевой строки матрицы (строки, в которой все элементы равны нулю);

3) умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля (коротко: );

4) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой ее строки, умноженных на одно и то же отличное от нуля число (коротко: ).

Так как вычеркивание нулевой строки приводит к изменению размера матрицы, говорить о равенстве матриц при подобных преобразованиях нельзя.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Матрица A(mxn) называется ступенчатой, если в каждой ее строке есть элемент, в столбце которого все элементы ниже являются нулями, а в последней строке есть хотя бы один ненулевой элемент. Упомянутые в определении ненулевые элементы называют ведущими.

Ступенчатыми являются, например, треугольные матрицы, матрицы , и т.д.

Любую ненулевую матрицу можно путем элементарных преобразований свести к эквивалентной ей ступенчатой. Алгоритм доказательства этого утверждения совпадает с алгоритмом практического преобразования матрицы.

Пример 1.4. Привести к ступенчатому виду матрицы , .

Решение. При преобразованиях матрицы A ведущим элементом в первой строке будет a13, во второй a21. Имеем:

Итак, . Ведущим элементом в третьей строке является a32.

Проведем преобразования для матрицы B и покажем, что

Действительно,

.

В первой строке ведущим является элемент b11, во второй в качестве ведущего может выступить либо b22, либо b24.

Рангом матрицы A(mxn) в дальнейшем будем называть число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы. Стандартное обозначение ранга матрицы A(mxn): r(A). Так, в примере 1.4 r(A)=3, r(B)=2.

Замечание. Ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Поэтому полученный результат всегда можно проверить, попытавшись привести матрицу к ступенчатой другим способом. Например, после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12:

Получили другую матрицу, эквивалентную B. Но она тоже является ступенчатой, причем состоит из двух строк, поэтому и в данном случае r(B)=2.







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1730. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...

Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом опреде­ления суточного расхода энергии...

ОЧАГОВЫЕ ТЕНИ В ЛЕГКОМ Очаговыми легочными инфильтратами проявляют себя различные по этиологии заболевания, в основе которых лежит бронхо-нодулярный процесс, который при рентгенологическом исследовании дает очагового характера тень, размерами не более 1 см в диаметре...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия