ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

1.1. Предварительные сведения. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, причем в скобках указывается размер – количество строк и столбцов. Так, запись B(2x3) означает, что речь идет о матрице, состоящей из двух строк и трех столбцов, например . Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i -й строки и j- го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5). Через A_i обозначают i-ю строку матрицы A, через A^j – j-й столбец.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы квадратной матрицы A(nxn) a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется е диничной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

1.2. Арифметические действия с матрицами.Чтобы умножить матрицу A(mxn) на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A(mxn), B(mxn) (одного и того же размера!), необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

При этом речь идет об алгебраической разности, т.е. при вычислении A-B находим разность элементов, стоящих на одинаковых местах.

Пример 1.1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число "2", затем находим разность:

Произведение AB можно определить только для матриц размера A(mxn), B(nxp), при этом AB=C, матрица C имеет размер C(mxp) и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е. (i=1,2,...,m; j=1,2,...,p). Фактически каждую строку матрицы A необходимо скалярно умножить на каждый столбец матрицы B

Пример 1.2. Найти AB и BA для и .

Решение. Размеры матриц 2х2, поэтому оба произведения определены:

Как видно, , т.е. эта операция не коммутативна.

Матрицей, транспонированной к матрице A(mxn), называется матрица A^T(nxm), строки которой являются соответствующими столбцами исходной матрицы. Например, если , то .

Пример 1.3. Вычислить AB+2C^T, если , , .

Решение. Учитывая все правила действий с матрицами, получаем:

1.3. Элементарные преобразования матриц.К таким преобразованиям матриц относятся следующие действия:

1) перемена местами двух строк матрицы (краткая запись: );

2) вычеркивание нулевой строки матрицы (строки, в которой все элементы равны нулю);

3) умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля (коротко: );

4) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой ее строки, умноженных на одно и то же отличное от нуля число (коротко: ).

Так как вычеркивание нулевой строки приводит к изменению размера матрицы, говорить о равенстве матриц при подобных преобразованиях нельзя.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Матрица A(mxn) называется ступенчатой, если в каждой ее строке есть элемент, в столбце которого все элементы ниже являются нулями, а в последней строке есть хотя бы один ненулевой элемент. Упомянутые в определении ненулевые элементы называют ведущими.

Ступенчатыми являются, например, треугольные матрицы, матрицы , и т.д.

Любую ненулевую матрицу можно путем элементарных преобразований свести к эквивалентной ей ступенчатой. Алгоритм доказательства этого утверждения совпадает с алгоритмом практического преобразования матрицы.

Пример 1.4. Привести к ступенчатому виду матрицы , .

Решение. При преобразованиях матрицы A ведущим элементом в первой строке будет a₁₃, во второй a₂₁. Имеем:

Итак, . Ведущим элементом в третьей строке является a₃₂.

Проведем преобразования для матрицы B и покажем, что

Действительно,

.

В первой строке ведущим является элемент b₁₁, во второй в качестве ведущего может выступить либо b₂₂, либо b₂₄.

Рангом матрицы A(mxn) в дальнейшем будем называть число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы. Стандартное обозначение ранга матрицы A(mxn): r(A). Так, в примере 1.4 r(A)=3, r(B)=2.

Замечание. Ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Поэтому полученный результат всегда можно проверить, попытавшись привести матрицу к ступенчатой другим способом. Например, после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b₁₂:

Получили другую матрицу, эквивалентную B. Но она тоже является ступенчатой, причем состоит из двух строк, поэтому и в данном случае r(B)=2.