ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

3.1. Определения и примеры.Для квадратной матрицы A(nxn) обратной к ней является матрица того же размера, удовлетворяющая равенствам: , где E – единичная матрица соответствующего размера.

Пример 3.1. Является ли матрица обратной к .

Решение. Найдем произведения этих матриц:

.

Итак, и .

Теорема о существовании. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля (т.е. когда матрица является невырожденной).

3.2. Поиск обратной матрицы с помощью метода Гаусса. После вычисления определителя (чтобы убедиться, что обратная матрица существует) необходимо выписать матрицу, приписать к ней справа единичную соответствующего размера и «сдвоенную» матрицу путем элементарных преобразований привести к выражению (слева должна стоять единичная матрица, а справа появится искомая обратная).

Пример 3.2. Найти для .

Решение. . Значит,

матрица невырожденная и имеет обратную. Составим «сдвоенную» матрицу и проведем необходимые преобразования.

Таким образом, .

3.3. Поиск обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы. Это способ основан на применении формулы

, (9)

где - матрица из алгебраических дополнений к элементам матрицы A.

Пример 3.3. Найти для методом алгебраических дополнений.

Решение. Матрица та же самая, что в примере 3.2, поэтому ее определитель нам уже известен (). Найдем алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы:

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Итак, ; . По формуле (9) получаем: . Эта матрица совпала с найденной при решении примера 3.2, что может служить проверкой правильности решения.

Замечание. Результат поиска обратной матрицы можно проверить и другим способом – убедиться в справедливости равенства .

Пример 3.4. Решить уравнения а) ; б) .

Решение. Матричное уравнение можно умножить слева на и получить (в силу определения обратной матрицы). С другой стороны, уравнение умножаем на матрицу слева и получаем . Найдем матрицу, обратную к . Используя метод Гаусса, получаем:

Значит, . Но тогда

;

.

Замечание. Результат можно проверить, подставив полученные матрицы в исходные уравнения.