Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».
Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием mx и Dx. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше чем на α, ограничена сверху величиной Dx/ α2: P(|X - mx |≥α)≤ Dx/ α2. Доказ-во: Пусть величина Х прерывная, с рядом распределения:
| Х
| x1
| x2
| …
| xn
|
| p
| p1
| p2
| …
| pn
|
Изобразим возможные значения величины Х и ее мат. ожидание mx в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше, чем на α: P(|X - mx |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки mx вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вероятность (1) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - mx |≥α) = P(X 
AB). Для того, чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений Х, которые лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - mx |≥α) = 
- формула (2), где запись |X - mx |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те значения, для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии величины Х: D(X) = M[(X - mx)2] = 
- формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения Х, а только на некоторые, в частности на те, котрые лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ 
. Заменим под знаком суммы выражение |X - mx | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - mx |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшится; значит, D(X) ≥ 
. Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α2P(|X - mx |≥α), откуда непостредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда величина Х непрерывна, доказ-во проводится аналогичным образом с заменой вероятностей p элементом вероятности, а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - mx |>α) = 
, где f(x) – плотность распределения величины Х. Далее, имеем: D(X) = 
≥ 
, где знак |X - mx |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - mx | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥ α2 = α2P(|X - mx |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.
