Теорема Чебышева. Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат

Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.

Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Х_n сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Х_n и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Х_n – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое сходится по вероятности к m_x, т.е. P(| - m_x|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки m_y = m_x; D_y = D_x/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая, что α = ε: P(|Y - m_y| ≥ε) ≤ D_y/ε² = D_x/n ε². Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во D_x/n ε²<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - m_x|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - m_x|<ε)> 1 – δ, что и требовалось доказать.