Студопедия — Спектральные представления как частный случай геометрических методов в теории сигналов.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Спектральные представления как частный случай геометрических методов в теории сигналов.






 

Историческая заслуга в разработке спектральных представлений (гармонического анализа) принадлежит Жану Б. Фурье.

В современной трактовке спектральные разложения могут быть представлены как частный случай геометрических методов в теории сигналов (из функционального анализа).

 

Возникает естественная геометрическая аналогия: если вектор представляется через его проекции в прямоугольной системе координат, если можно определить по проекциям ряд характеристик, в том числе важнейшую – модуль вектора (длину, иначе, норму), то почему бы не поступить так же и с сигналами? И сигнал представлять через элементарные сигналы, входящие в ортогональный базис, а количественной характеристикой для сравнения их между собой взять ту же норму, определив ее соответствующим образом.

  а) , - единичные векторы (орты) - длина вектора (норма)   б)

Иными словами, возникает идея представления функций неким набором элементарных, в каком-то смысле “перпендикулярных”, функций, так, как это делается в геометрии с векторами. Впервые такое разложение было сделано Фурье. Он предложил непрерывную в интервале функцию времени представить в виде ряда:

, (6)

где - некий базисный набор элементарных функций, которые являются ортогональными в указанном интервале и нормированными (их норма равна 1);

- коэффициенты ряда Фурье, коэффициенты веса.

Если базисный набор функций определён, то аппроксимируемая функция целиком и полностью будет определяться набором весовых коэффициентов:

.

Ортогональность базисных функций математически записывается в виде равенства нулю их скалярных произведений.

Если в интервале каждая из базисных функций ортогональна, то

(7)

Норма базисной функции записывается в виде интеграла:

условие нормировки

Нормированность функций:

(8)

В целом:

(9)

Выполнение условий (7), (8) или (9) обеспечивает систему (ортонормированную) базисных функций или просто базис. Если условие нормированности не выполняется, то нормируют функции делением на норму.

Фурье предложил в качестве идеальных математических моделей взять гармонический ряд sin и cos.

 

Определение коэффициентов ряда Фурье (6)

(6) – обобщенный ряд Фурье.

Образуем скалярное воспроизведение базисной и аппроксимируемой функций:

Получим:

 

(10)

 

 

Чтобы найти коэффициент гармонического разложения, нужно вычислить скалярное произведение аппроксимируемой функции и члена ортонормированного базиса с тем же коэффициентом.

Аппроксимация периодических функций тригонометрическим рядом
(рядом Фурье)

Наиболее популярными являются базисные функции в виде элементарных тригонометрических функций и экспоненциальных, потому что они инвариантны к производимым над ними операциям линейными стационарными операторами. В частности – к операциям интегрирования и дифференцирования.

Пусть – периодическая функция.

n = 0, 1, 2…

T – период.

Ортонормированным базисом для таких функций служит следующий ряд:

 

(11)

где – основная гармоника;

– высшие гармоники;

– интервал ортонормированности.

Примечание: если взять , то получим вариант базисного ряда:

Аппроксимация периодической функции по базису (11) выглядит:

 

, (12)

где (13)

Формулы (13) получены по процедуре (10).

Примечание: если исходная функция четная, то коэффициенты bi = 0; если нечетная, то ai = 0.

 

Задача № 1

Представить тригонометрическим рядом Фурье повторяющиеся с периодом T видеоимпульсы прямоугольной формы длительностью τи, симметричные относительно начала координат.

Решение. Находим коэффициенты:

 

 

,

где – скважность импульса.

, так как функция четная.

 

(14)







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 653. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора.  ...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия