Спектральные представления как частный случай геометрических методов в теории сигналов.

 

Историческая заслуга в разработке спектральных представлений (гармонического анализа) принадлежит Жану Б. Фурье.

В современной трактовке спектральные разложения могут быть представлены как частный случай геометрических методов в теории сигналов (из функционального анализа).

 

Возникает естественная геометрическая аналогия: если вектор представляется через его проекции в прямоугольной системе координат, если можно определить по проекциям ряд характеристик, в том числе важнейшую – модуль вектора (длину, иначе, норму), то почему бы не поступить так же и с сигналами? И сигнал представлять через элементарные сигналы, входящие в ортогональный базис, а количественной характеристикой для сравнения их между собой взять ту же норму, определив ее соответствующим образом.

а) , - единичные векторы (орты) - длина вектора (норма)

б)

Иными словами, возникает идея представления функций неким набором элементарных, в каком-то смысле “перпендикулярных”, функций, так, как это делается в геометрии с векторами. Впервые такое разложение было сделано Фурье. Он предложил непрерывную в интервале функцию времени представить в виде ряда:

, (6)

где - некий базисный набор элементарных функций, которые являются ортогональными в указанном интервале и нормированными (их норма равна 1);

- коэффициенты ряда Фурье, коэффициенты веса.

Если базисный набор функций определён, то аппроксимируемая функция целиком и полностью будет определяться набором весовых коэффициентов:

.

Ортогональность базисных функций математически записывается в виде равенства нулю их скалярных произведений.

Если в интервале каждая из базисных функций ортогональна, то

(7)

Норма базисной функции записывается в виде интеграла:

условие нормировки

Нормированность функций:

(8)

В целом:

(9)

Выполнение условий (7), (8) или (9) обеспечивает систему (ортонормированную) базисных функций или просто базис. Если условие нормированности не выполняется, то нормируют функции делением на норму.

Фурье предложил в качестве идеальных математических моделей взять гармонический ряд sin и cos.

 

Определение коэффициентов ряда Фурье (6)

(6) – обобщенный ряд Фурье.

Образуем скалярное воспроизведение базисной и аппроксимируемой функций:

Получим:

 

(10)

 

 

Чтобы найти коэффициент гармонического разложения, нужно вычислить скалярное произведение аппроксимируемой функции и члена ортонормированного базиса с тем же коэффициентом.

Аппроксимация периодических функций тригонометрическим рядом
(рядом Фурье)

Наиболее популярными являются базисные функции в виде элементарных тригонометрических функций и экспоненциальных, потому что они инвариантны к производимым над ними операциям линейными стационарными операторами. В частности – к операциям интегрирования и дифференцирования.

Пусть – периодическая функция.

n = 0, 1, 2…

T – период.

Ортонормированным базисом для таких функций служит следующий ряд:

 

(11)

где – основная гармоника;

– высшие гармоники;

– интервал ортонормированности.

Примечание: если взять , то получим вариант базисного ряда:

Аппроксимация периодической функции по базису (11) выглядит:

 

, (12)

где (13)

Формулы (13) получены по процедуре (10).

Примечание: если исходная функция четная, то коэффициенты b_i = 0; если нечетная, то a_i = 0.

 

Задача № 1

Представить тригонометрическим рядом Фурье повторяющиеся с периодом T видеоимпульсы прямоугольной формы длительностью τ_и, симметричные относительно начала координат.

Решение. Находим коэффициенты:

 

 

,

где – скважность импульса.

, так как функция четная.

 

(14)