Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Спектральные представления как частный случай геометрических методов в теории сигналов.





 

Историческая заслуга в разработке спектральных представлений (гармонического анализа) принадлежит Жану Б. Фурье.

В современной трактовке спектральные разложения могут быть представлены как частный случай геометрических методов в теории сигналов (из функционального анализа).

 

Возникает естественная геометрическая аналогия: если вектор представляется через его проекции в прямоугольной системе координат, если можно определить по проекциям ряд характеристик, в том числе важнейшую – модуль вектора (длину, иначе, норму), то почему бы не поступить так же и с сигналами? И сигнал представлять через элементарные сигналы, входящие в ортогональный базис, а количественной характеристикой для сравнения их между собой взять ту же норму, определив ее соответствующим образом.

  а) , - единичные векторы (орты) - длина вектора (норма)   б)

Иными словами, возникает идея представления функций неким набором элементарных, в каком-то смысле “перпендикулярных”, функций, так, как это делается в геометрии с векторами. Впервые такое разложение было сделано Фурье. Он предложил непрерывную в интервале функцию времени представить в виде ряда:

, (6)

где - некий базисный набор элементарных функций, которые являются ортогональными в указанном интервале и нормированными (их норма равна 1);

- коэффициенты ряда Фурье, коэффициенты веса.

Если базисный набор функций определён, то аппроксимируемая функция целиком и полностью будет определяться набором весовых коэффициентов:

.

Ортогональность базисных функций математически записывается в виде равенства нулю их скалярных произведений.

Если в интервале каждая из базисных функций ортогональна, то

(7)

Норма базисной функции записывается в виде интеграла:

условие нормировки

Нормированность функций:

(8)

В целом:

(9)

Выполнение условий (7), (8) или (9) обеспечивает систему (ортонормированную) базисных функций или просто базис. Если условие нормированности не выполняется, то нормируют функции делением на норму.

Фурье предложил в качестве идеальных математических моделей взять гармонический ряд sin и cos.

 

Определение коэффициентов ряда Фурье (6)

(6) – обобщенный ряд Фурье.

Образуем скалярное воспроизведение базисной и аппроксимируемой функций:

Получим:

 

(10)

 

 

Чтобы найти коэффициент гармонического разложения, нужно вычислить скалярное произведение аппроксимируемой функции и члена ортонормированного базиса с тем же коэффициентом.

Аппроксимация периодических функций тригонометрическим рядом
(рядом Фурье)

Наиболее популярными являются базисные функции в виде элементарных тригонометрических функций и экспоненциальных, потому что они инвариантны к производимым над ними операциям линейными стационарными операторами. В частности – к операциям интегрирования и дифференцирования.

Пусть – периодическая функция.

n = 0, 1, 2…

T – период.

Ортонормированным базисом для таких функций служит следующий ряд:

 

(11)

где – основная гармоника;

– высшие гармоники;

– интервал ортонормированности.

Примечание: если взять , то получим вариант базисного ряда:

Аппроксимация периодической функции по базису (11) выглядит:

 

, (12)

где (13)

Формулы (13) получены по процедуре (10).

Примечание: если исходная функция четная, то коэффициенты bi = 0; если нечетная, то ai = 0.

 

Задача № 1

Представить тригонометрическим рядом Фурье повторяющиеся с периодом T видеоимпульсы прямоугольной формы длительностью τи, симметричные относительно начала координат.

Решение. Находим коэффициенты:

 

 

,

где – скважность импульса.

, так как функция четная.

 

(14)







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 683. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия