Основные свойства преобразования Фурье.

Применяют краткие обозначения взаимосоответствия сигнала во времени и его изображения Фурье.

1. Обладает линейностью:

2. Свойство вещественной и мнимой частей спектральной плотности

Заменим в (19) экспоненту по формуле Эйлера:

.

Подставим этот результат в (20), где также заменим экспоненту формулой Эйлера:

(***)

Известно что интеграл в симметричных приделах от нечетной функции =0, поэтому для уничтожения мнимой компоненты сигнала, нужно сохранить нечетность 2-х подинтегралных выражений,и в связи с этим, реальная часть спектральной плотности должна быть четной, а мнимая часть – нечетной (22).

Итак (22)

3. Теорема запаздывания (сдвиг функции во времени):

Если , то (23)

Доказательство:

ч.т.д.

4. Теорема смещения (смещение спектра):

Если , то .

Доказывается аналогично пункту 3.

 

5. Изменение масштаба сигнала.

 

 

(24)

Из (24) следует что, чем уже импульсный сигнал тем шире его спектр и наоборот.

6. Спектральная плотность произведения сигналов (теорема о свертке).

Пусть имеем 2 сигнала со спектрами:

 

 

Найдем:

 

 

Заменим v(t) через обратное преобразование Фурье:

 

 

Интеграл в выражении называется сверткой спектральной плотности, и обозначается:

 

 

Таким образом:

 

(25)

Спектральная плотность произведения 2-х сигналов равна с точностью до коэффициента (1/2π) свертке спектральных плотностей сомножителей.

7. Обобщенная формула Рэлея (равенство Парсеваля).

Пусть имеются 2 сигнала с известными спектральными плотностями, и в общем случае – комплексно-значимые.

 

 

Образуем скалярное произведение этих сигналов и определим спектральную плотность.

 

 

Заменим через F ^-1.

 

(26)

Комментарий к (26): скалярное произведение 2-х сигналов равно с точностью до множителя (1/2π) скалярному произведению их спектральных плотностей. Это важное свойство используется для получения спектров неинтегрируемых сигналов.

8. Спектральная плотность производной сигнала.

Пусть

 

 

Преобразование Фурье – линейная операция. Применим ее к формуле .

 

Так как , разложим в ряд Маклорена:

 

 

Спектральная плотность производной получается домножением спектральной плотности сигнала на оператор дифференцирования в комплексной области j ω.

 

(28)