Получение формулы динамического представления сигнала.

(По рисунку б).

Каждый отдельный прямоугольный импульс можно описать с помощью функции Хэвисайда.

Очевидно, что импульс высотой и длительностью , возникающий в момент :

(1)

Очевидно, вся аппроксимируемая функция является суммой подобных импульсов:

(2)

Используем формальный приём: умножаем (2) и делим (2) на , устремим к 0 и возьмём предел этой суммы:

Пусть - новый (текущий) аргумент интегрирования, т.е. . Суммирование заменится интегрированием, , а предел отношения равен:

.

Пояснение.

Рассмотрим следующую функцию, вычисляемую через функцию Хэвисайда:

. (*)

Ее площадь всегда равна 1, а предел при определяет δ-функцию, т.е.

 

(**)

Окончательно:

(3)

является чётной, поэтому возможна запись:

(4)

или, если , получим

.

Комментарий к формулам (3) и (4).

Получено представление функции времени через идеализированный математический объект – замечательную Дирака. Это представление играет фундаментальную роль в теории линейных систем и с его помощью можно определять реакцию динамической системы на входной сигнал произвольного вида. Из теории известно, что реакцией динамической системы на входную является импульсная переходная функция (весовая функция).

Нетрудно видеть, что в этом случае реакцию на произвольный сигнал получим суммированием реакций на бесконечную последовательность смещенных δ-импульсов с площадями, равными текущей высоте входного сигнала (эта сумма переходит в интеграл):

(5) – формула Дюамеля

Для общности:

.

- импульсно переходная функция или весовая функция.

Пусть весовая функция:

, где Т-постоянная времени.

На вход такого звена поступает единичное входное воздействие необходимо найти реакцию на выходе, в этом случае выходной сигнал называется переходная функция