Определитель и его свойства

Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы. Определителем матрицы первого порядка называется число, равное единственному

элементу этой матрицы: A = { a }, det A = |A| = a.

Свойства определителей:

1. При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

2. Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

3.

То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы .

Решение. По свойству

Ответ.

4. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5. Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

6. Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8. Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9. Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка . Прибавим ко второй строке определителятретью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11. Определитель произведения матриц равен произведению определителей: