Понятие о функции комплексной переменной.

Определение: если А – некоторое множество комплексных чисел z (геометрически – множество точек комплексной плоскости), и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w В (где В – также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В). Записывают: w = f (z). Множество А называют областью определения функции, В – множество, состоящее из значений, принимаемых функцией, называют областью значений функции. Принято множества А и В, изображать на отдельных комплексных плоскостях (см. рис. 5): плоскость z комплексных чисел z = х + i у и плоскость w комплексных чисел w = u + i v.

При этом точка w₀ = f (z₀) называется образом точки z₀, а z₀– прообразом точки w₀.

В частности, если А расположено на действительной оси ох, то z = х является действительным переменным. Если же все значения w также действительны, то приходим к понятию функции действительного переменного как частному случаю функции комплексного переменного.

В общем случае z = х + i у, w = u (х, у) + i v (х, у).

Геометрически функцию f (z) можно рассматривать как отображение множества А на множество В, переводящее точку (х, у) множества А в точку (u, v) множества В. Высказывание “ функция w = f (z) определена на множестве А” эквивалентно следующему: “ каждой точке (х, у) из А поставлены в соответствие действительные числа u и v ”. Иными словами, на множестве А определены две действительные функции

двух действительных переменных х и у. Итак, задание функции комплексного переменного w = f (z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных и u= .

Например, соотношение w = z2 = (x +iy)2 = x2 – y2 + i2xy эквивалентно следующим: u = x2 – y2, v = 2xy.