Понятие дифференцируемости функций двух переменных. Полный дифференциал.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М (х;у). Приращение функции в точке М:

Функция называется дифференцируемой в точке М (х;у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

,где и при . Сумма первых двух слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

80. Производная по направлению. Градиент.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении. С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.Обозначается: .Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции f в точке по направлению следующим образом: Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора