Экстремумы функций двух переменных.

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой области D, точка N(x ₀ ;y ₀ ) є D. Условия экстремума. Если в точке N(x ₀; y ₀) дифференцируемая функция z = f(x; y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’(x ₀;y ₀) =0, f’(x ₀;y ₀) = 0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x; y) равны нулю, т. е. f’_x= 0, f’_y= 0, называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Пусть в стационарной точке (x ₀;y ₀) и некоторой ее окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х ₀; y ₀) значения А= f”_xx(x ₀; у ₀), В == f”_xy(x ₀; у ₀), С = f”_yy(x ₀; y ₀). Обозначим

Тогда:

1) если ∆ >0, то функция f(x; y) в точке (х ₀; y ₀) имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А >0;

2) если ∆ <0, то функция f(x; y) в точке (x ₀;y ₀) экстремума не имеет.

3)В случае ∆ = 0 экстремум в точке (х ₀;у ₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.