Волны де Бройля. Волновая функция

Любой микрочастице соответствует своя волна де Бройля с частотой ω = Е/ћ и длиной λ = 2πћ/ λ. Сложный характер поведения частиц привел к статистическому толкованию волн де Бройля, что позволяет сочетать корпускулярные свойства частиц с волновыми. Согласно этому толклванию интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте.

Волны де Бройля описывают с помощью волновых функций. Определим вид волновой функции для свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси Х и с точно известным импульсом Р.

Волновая функция Ψ(х) должна представлять собой периодическую функцию координаты Х. Такими функциями могут быть:

ACoskx, ASinkx, Ae^ikx = A(Coskx + iSin kx), (3)

где k = 2π/ λ = p/ ћ – волновое число микрочастицы, А – амплитуда.

Можно ли в качестве волновой функции использовать функцию

Ψ(х) = ACoskx?

Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим каким условиям должна удовлетворять Ψ(х).

По условию Δр = 0. Тогда согласно соотношению (2) Δх → ∞. А это означает, что частица с равной вероятностью может находиться в любой точке оси Х. Поэтому интенсивность волновой функции, равная Ψ²(х) и определяющая вероятность нахождения частицы в какой-либо точке оси Х, не должна зависеть от Х. Это соответствует условию

Ψ²(х) = const. (4)

Для функции (3)

Ψ²(х) = A²Cos²kx.

График этой функции имеет вид (рис. 1).

На оси Х имеются точки, в которых Ψ²(х) = 0 и, следовательно, частицу обнаружить невозможно. Это противоречит условию (4). Очевидно, непригодна для описания волновой функции и ASinkx.

Рассмотрим теперь функцию

Ψ(х) = Ae^ikx. (5)

В силу того, что в данном случае Ψ(х) комплексная функция, то для определения интенсивности волновой функции надо брать квадрат модуля, чтобы иметь положительное значение вероятности:

|Ψ(х)|² = Ψ(х) Ψ^*(х) = Ae^ikx Ae^-ikx = A².

Видно, что использование комплексной функции (5) дает равномерное распределение вероятности по оси Х и ее можно использовать в качестве волновой функции.