Решение задач нелинейного программирования методом Лагранжа

Метод Лагранжа заключается в выполнении следующих действий.

1. Если в системе ограничений встречаются неравенства, то, вводя дополнительные переменные, преобразовать неравенства в равенства.

2. Для заданной системы ограничений и целевой функции составить функцию Лагранжа:

где есть неопределённые коэффициенты[2].

3. Приравнять к нулю все частные производные первого порядка функции L, и получить систему уравнений (в общем случае нелинейных уравнений):

4. Решить полученную систему и, тем самым, найти все стационарные точки функции , то есть такие точки, в которых функция может иметь экстремумы (минимумы или максимумы).

5. Исследовать каждую точку на наличие в ней экстремума функции , применяя следующую теорему:

если функция дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки S = , причём все её вторые производные в этой окрестности непрерывны, то функция имеет в точке S:

минимум, если все числа D₁, D₂, …, D_n являются положительными,

максимум, если знаки чисел D₁, D₂, …, D_n чередуются, начиная с минуса,

где

Если же числа D_i не являются положительными или их знаки не чередуются, то вопрос о наличии экстремума функции в стационарной точке остаётся открытым и требует дополнительных исследований.

Для решения задач нелинейного программирования целесообразно использовать программные системы символьных вычислений, например, систему MathCad.

Пример. Решить методом Лагранжа в системе MathCad следующую задачу нелинейного программирования:

Решение.

1. Объявляем целевую функцию f и функцию Лагранжа L:

2. Находим стационарные точки:

а) объявляем все частные производные первого порядка функции L:

объявление производной	результат

б) приравниваем к нулю все частные производные первого порядка функции Лагранжа L и получаем систему, которую решаем с помощью блока Given:

Таким образом, функция f имеет одну стационарную точку (91, 89).

3. Для каждой стационарной точки проверяем наличие у функции f минимума или максимума. Для этого:

а) объявляем все производные второго порядка целевой функции f:

объявление производной	результат

б) вычисляем значения всех производных второго порядка функции f в каждой стационарной точке:

в) вычисляем значения членов последовательности

Так числа D1, D2 положительны, то функция f в точке (91, 89) имеет минимум, равный

Ответ. Функция при условии имеет минимум 17278, который достигается при x₁ = 91, x₂ = 89.