Решение. При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо:

При исследовании функции методами дифференциального исчисления необходимо:

а) найти область определения функции;

б) исследовать функцию на непрерывность;

в) найти точки пересеченияи графика функции с осями координат;

г) определить интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

д) найти интервалы выпуклости, и вогнутости функции и точки перегиба графика функции.

 

а) Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

б) Данная функция является элементарной,.поэтому она непрерывна -в на своей области определения, то есть на интер­вале (—;).

в) Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Оу подставим -в уравнение функции х x= 0. Тогда у = 5. Значит, график функции пересечет ось Оу в точке А(0; 5).

Для определения точки пересечения исследуемой кривой с осью Ох следует решить уравнение 1/3 x³-x² – 3x+5 = 0. Из-за отсутствия целочисленных корней этого уравнения его реше­ние громоздко (оно может быть найдено, например, по фор­мулам Кардано) и не приводится здесь.

 

г) Для (нахождения интервалов возрастания и убывания функции определим интервалы знакопостоянства ее первой производной.

 

 

- точки, подозрительные на экстремум.

y¹ = x² – 2x – 3

 

Корнями производной являются х₁ = — 1, х₂ = 3 (критические точки первого рода). Промежутки знакопостоянства произ­водной у' определяем, как и в предыдущей задаче, методом интервалов. (рис. 5).

-1

+ _ + Рис.5

Данная функции возрастает на интервалах (—; —1) и (3; ) (здесь производная у' положительна) и убывает на интервале (—-1; 3) (здесь у'<0).

 

Для исследования критических точек х₁ =— 1 и х₂ = 3 на экстремум воспользуемся первым достаточным признаком эк­стремума функции: если функция f(х) дифференцируема в точке и ее окрестности и ее производная слева от этой точки положительна (отрицательна), а справа — отри­цательна (положительна), то в точке функция f(х) имеет максимум (минимум).

 

При переходе через точку х₁ = — 1 производная у' меняет свой знак с (плюса на1 минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум

Y_max = y(-1) = 6 2/3

ЗЗначит, В (-1; 6 2/3) – точка максимума.

Так как при переходе через точку х₂= 3 производная у' меняет свой знак с 'минуса на плюс,

то С(3; -—4) - —точка минимума.

 

д) Для определения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используем следующие достаточные признаки: если вторая производная дважды дифференцируемой функции f(х) положительна (отрицатель­на) в каждой точке интервала (а; b), то на этом интервале график функции f(x) является вогнутым (выпуклым);

если x₀  (а; Ь) и либо не существует и при /пере­ходе через точку вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба кривой у = f(х).

Найдем вторую производную данной функции:

– точка, подозрительная на перегиб.

- +

 

На интер­вале вторая производная отрицательна, поэтому гра­фик функции на этом интервале является выпуклой кривой;

На интер­вале вторая производная положительна, поэтому график функции вогнут на этом интервале.

Так как при переходе через точку х=1 вторая производная меняет свой знак, то х=1 есть абсцисса точки перегиба.

- точка перегиба кривой.

Результаты исследований приведены в таблице 3.

x		-1	(-1;1)		(1;3)
y	Возрастает выпукла	max	Убывает выпукла	Перегиб	Убывает вогнута	min	Возрастает вогнута
	+		-	-	-		+
	-	-	-		+	+	+

График функции изображен на рис. 2.

рис. 2

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

3. Сформулируйте достаточные признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называют критическими точками функции?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? (вогнутой?)

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Что называется точкой перегиба кривой?

9. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.