Тема 2. Определители и системы линейных уравнений

 

Литература: [3] гл.XVII §1-6, [5], № 408,412,471

 

Определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле a₁b₂ – a₂b₁.

 

Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ – a₁b₃c₂ – a₂b₁c₃ – a₃b₂c_1.

 

Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен рассматриваемый элемент.

 

Алгебраические дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, опреде­ляющих этот элемент, есть число четное, и с противополож­ным знаком, если это число нечетное.

 

Так, например, разложение определителя третьего порядка по элемен­там третьей строки имеет следующий вид:

 

 

Рассмотрим способ решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z с помощью определителей.

 

 

Введем обозначение - определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных.

, , - вспомогательные опре­делители, получаемые

из определителя заменой соответст­венно его первого, второго, третьего столбцов на столбец сво­бодных членов, то есть

, , ,

 

 

Если определитель системы отличен от нуля, то сис­тема имеет единственное решение, находимое по формулам Крамера:

, , .

Если = 0, а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решения. Если же ,

то система имеет бесчисленное множест­во решений.

 

Задача 24. Решить систему уравнений:

 

Решение.

Вычислим определитель системы:

 

Так как , данная система имеет единственное решение.

Вычисляем определители _x, _y, _z.

 

, ,

 

, , .

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется определителем второго и третье­го порядка?

2. Что называется минором элемента определителя?

3. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Назовите свойства определителей.

5. При каком условии система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение? Как най­ти это решение?

6. При каких условиях система уравнений не имеет реше­ний, имеет бесчисленное множество решений?