Тема 3. Введение в анализ

 

Литература: [3], гл. VI, § 1—9, упр. 2, 3, 9, гл. VII, § 1—13, упр. 1, 5--10, гл. VIII, § 1-6, упр. 1, 5, 8.

 

Разберите решение задачи 5.

Задача 35. Вычислить пределы:

а) б)

в) г)

д) е) ж)

 

 

Решение.

 

а) При вычислении пределов удобно пользоваться следую­щим правилом: если функция у = f(xх) непрерывна при xx = а, то lim f(х)=f(а).

Х-+- I

Под знаком предела имеем элементарную функцию, не­прерывную при x х = 3. Поэтому для вычисления предела до­статочно вместо xх подставить егою предельное значение:

б) При x х = 4 числитель д(Дроби равен 3, а ее знаменатель равен нулю., т.е. пПри x=4х 4 числитель является ограниченной функ­цией, а знаменатель есть функция бесконечно малая. Поэтому дробь является бесконечно большой. и ее П(Пределредел бесконечно большой функции обозначают символом  ( (ббесконечность), то есть

 

в) ППодстановка предельного значения аргумента xх =2 при­водит к неопределенному выражению вида 0/0. Для устране­ния этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на линтейные множители по формуле , где - корни уравнения и сократим дробь на (xх—2).). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х—2) отличен от нуля три х->2:

г) При х->

 

г) Подстановка предельного значения аргумента при­водит к неопределенному выражению вида . Для устране­ния этой имеем неопределенное выражение вида неопределенности

Для устранения этой неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на х² (наивысшую степень стоящих в числителе и знаменателе дроби многочленов) и применим основные теоремы о пределах:

д) Подстановка предельного значения аргумента в выражение при­водит к неопределенному выражению вида . Для устране­ния этой неопределенности

д) При х-> выражение х²—2х—х дает неопределен­ность.вида —. Для ее устранения умножим и.разделим это выражение на сопряженное выражение, т.е. выражение с противоположным знаком.

 

(х²—2х+х):

( при )

 

Для устранения получившейся здесь неопределенности вида — разделим числитель, и знаменатель последней дроби на х.

е) Известно, что предел отношения синуса бесконечно ма­лой дуги к самой дуге равен единице, то есть

 

Эта формула называется формулой первымого замечательнымого пределома. Из нее вытекает следующее следствие:

,

 

 

где k — отличное от нуля число.

Преобразуем стоящее под знаком предела выражение, воспользуемся свойствами (пределов и следствием из форму­лы первого замечательного предела. Тогда

ж) Для решения воспользуемся вторым замечательным пределом, который имеет две формы записи: или

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какие величины -называются постоянными? перемен­ными?

2. Сформулируйте определение функции.

3. Что называется областью определения функции? обла­стью изменения функции?

4. Назовите способы задания функциональной зависи­мости.

5. Перечислите основные элементарные функции.

6. Что называется числовой последовательностью?

7. Что называется пределом числовой последовательно­сти?

8. Что называется пределом функции?

9. Сформулируйте основные теоремы о пределах функ­ций.

10. Какие величины называются бесконечно малыми? бес­конечно большими?

11. Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.

12. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

13. Сформулируйте понятия односторонних пределов функ­ции в точке.

14. Какая функция называется непрерывной в точке? (на отрезке?)

15. Приведите классификацию точек разрыва функции.

16. Назовите свойства непрерывных на отрезке функций.

 

Тема 4. Производная и дифференциал функции

Литература [3]|, гл. IX, § 1—5, гл. X, § 1- — 15, упр. 1—-20, гл. XII, § 1—-7, упр. 1—-5, 7.

Для справок приведем основные правила и формулы диф­ференцирования элементарных и сложных функций.

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 9.

10. 10.

11. 11.

12. 12.

13. 13.

14. 14.

15. 15.

16. 16.

17. 17.

18. 18.

19. 19.

20. 20.

21. 21.

22. 22.

23. 23.

 

 

Разберите решение задач 6, 7.

Задача 46. Найти производные данных функций:

а) б)

в) г)

д)

 

Решение.

а) Преобразуем давшую ффункцию к следующему виду:

Применив правило (31) дифференцирования суммы функций и формулы (15), (6),(94), получим:

 

6) Применим.правило (42) дифференцирования произведения функций и формулы (31), (95), (1610).

 

в) Для нахождения производной функции используем пра­вило (53) дифференцирования частного, формулы (31), (1610), (1711), (14), (8). Заметим, что - сложные тригонометрические функции вида где

г) Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифма корня:

Эта функция — сложная; запишем ее в виде у= — ½ ln u , где

u = 3x⁴ +2.По правилуу (148) дифференцирования сложной функции имеем:

 

д) Данная функция является сложной. Обозначим 3^{cos 2x} – 1 = u. Тогдатогда у = u⁶. По правилу (9) и (13) дифференцирования сложной функции имеем:Используя (18), имеем

Задача 57. Найти дифференциалы - следующих функций:

а) б)

Решение.

Дифференциал dyу функции у = f(х) /равен произведению производной у' на дифференциал dxх аргумен­та х, то есть dyy = yу'dxх. а)

 

б)

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический смысл производной?

(ее физиче­ский смысл?)

3. Напишите правила и формулы дифференцирования ос­новных элементарных функций.

4. Как найти производную сложной функции?

5. Что называется дифференциалом функции?

6. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

7. Перечислите свойства дифференциала функции.