Тема 5. Приложения производной

 

Литература: [(3], гл. XI, § 1—-3, 7-10; [5], гл.7, §4.\Ь 1162, 1167, 1201.

Разберите решение задач 8—11.

Задача 8. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой у = х² +1 в точке с абсциссой

х₀= 2.

Решение. Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке M₀ (x₀; y₀) имеет вид

y – y₀= y (x₀)(x-x₀) (1)

Нормаль (прямая, проходящая через точку касания пер­пендикулярно касательной) определяется уравнением

Определим ординату y₀ точки касания: y₀ = 2² +1 =2

Найдем значение производной функции в точке касания: y¹ = 2x; y¹(x₀) = 4

По формуле (1) находим уравнение касательной: y-5 = 4(x-2); 4x-y-3=0

Используя формулу (2) находим уравнение нормали: y-5= -1/4(x-2); x+4y-22=0

Задача 9. Найти интервалы -возрастания и убывания функ­ции у = х³—6х² +9х—1.

Решение Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на интервале (а; Ь), если для любых значений x₁ и х₂ аргумента х таких, что а<х₁<х₂<Ь, выполняется не­равенство f(Х₂)>f(Х₁) (f(x₂)f(x₁)).

Для 'нахождения интервалов возрастания и убывания функции -воспользуемся следующими достаточными признака­ми: если производная дифференцируемой функции положи­тельна (отрицательна) на некотором интервале, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Продифференцируем данную функцию:

 

Определим промежутки знакопосгоянства производной у', используя метод интервалов. На числовой оси отметим в по­рядке возрастания критические значения x₁=1 и x₂ = 3 аргу­мента x (в этих точках производная данной функция обраща­ется в нуль) (рис. 4). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: (—; 1), (1; 3), (3; ).

Рис.4

В первом и третьем интервалах производная у' положи­тельна, следовательно, функция у здесь возрастает; на вто­ром интервале у' отрицательна и данная функция убывает.

Задача 6 10. Исследовать функцию у= 1/3x³-x²-3x+5 и построить ее график.