Свойства неопределенного интеграла

 

1. Неопределенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме неопределенных интегра­лов от слагаемых функций, то есть

2. Отличный от нуля постоянный множитель можно вы­носить за знак неопределенного интеграла, то есть

 

3. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

4. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции, сложенной с произвольной постоянной, то есть

 

Таблица основных интегралов

 

1. где

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

 

Задача 7. Вычислить неопределенные интегралы: а) б)

в) г) д)

Решение.

 

а) Преобразуем подынтегральную функцию, применим свойства (1) и (2) неопределенного интеграла и фор­мулы (1) и (4).

 

б) Рассматриваемый интеграл (как и последующие) вы­числим методом замены переменной (методом подстановки), описываемый следующей формулой:

(*)

После вычисления неопределенного интеграла, стоящего в правой части формулы (*), в полученном выражении следует перейти от переменной t к переменной х.

 

 

в) Данный интеграл сводится к табличному (2), подстановкой l-x³ = t.

 

г)

 

 

д)

 

 

Задача 8. Вычислить неопределенные интегралы:

а) б) в)

 

Решение.

 

Данные интегралы вычисляются по формуле интегрирования по частям:

 

(**)

 

Представление подынтегрального выражения в виде мно­жителей u и dv сводит к интегралу, который должен быть «проще» исходного или табличным интегралом. При этом удобно пользоваться следующими рекомендациями.

 

 

1. Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функ­цию, то за множитель u следует принять многочлен.

 

2. Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометри­ческую функцию, то за множитель u следует принять логариф­мическую или обратную тригонометрическую функцию.

 

а) Исходя из рекомендации 1, получим

 

Замечание: интеграл найден методом подстановки t=2x.

 

б) Исходя из рекомендации 2, получим

 

 

в) Исходя из рекомендации 1, получим

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какая функция называется первообразной для данной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Назовите свойства неопределенного интеграла.

4. Напишите табличные формулы неопределенных инте­гралов.

5. В чем сущность метода подстановки в неопределенном интеграле?

6. Напишите формулу интегрирования по частям для не­определенного интеграла.