Кінематичні й динамічні характеристики механічного руху.

Надалі ми будемо цікавитися рухом тільки таких ідеалізованих об'єктів механіки як матеріальна точка й система матеріальних точок. Тому приведемо тут визначення тільки тих основних характеристик, якими користуються при описанні руху саме цих об'єктів. При розгляді механічного руху без урахування, викликаючих його причин, використовують кінематичні характеристики, а з урахуванням цих причин - динамічні характеристики механічного руху.

Розглянемо рух матеріальної точки М відносно якоїсь СВ із початком координат у точці О (нижче ми будемо в основному використовувати інваріантний метод опису руху; при необхідності використання конкретної системи координат перевагу будемо віддавати правогвинтовій системі декартових координат x, y, z з ортами пов’язаних між собою співвідношенням , де - знак векторного добутку векторів). Положення точки М відносно зазначеної СВ однозначно визначається завданням її радіуса-вектора (вектора, проведеного з О в М) як функції часу

 

, (3.1)

 

що в декартовій системі координат еквівалентно трьом рівнянням

 

, (3.1')

 

якщо врахувати розклад

 

. (3.2)

 

Векторну функцію (3.1) називають законом руху матеріальної точки (при кінематичному вивченні руху передбачається, що цей закон може бути встановлений експериментально). Функцію (3.1) будемо вважати неперервною і диференцюємою, що є наслідком неперервності просторових координат і часу t (див. постулати 1) і 6) з § 2).

Траєкторією матеріальної точки М називають криву, що описується в просторі кінцем її радіуса-вектора .

Основними кінематичними характеристиками (мірами) руху матеріальної точки служать швидкість і прискорення , які визначаються формулами:

 

, (3.3)

 

. (3.4)

 

Вектори швидкості й прискорення є векторними функціями часу, тобто та .

Фундаментальними динамічними характеристиками механічного руху є поняття сили й маси.

Сила є кількісною мірою механічної взаємодії тіл. Під силою , з якої на матеріальну точку А діє деяке тіло В, розуміють такий механічний вплив В на точку А, у результаті якого вона набуває прискорення . Досвід показує, що сила, як і викликане нею прискорення, є вектором, причому

 

(3.5)

 

Однак вище наведене твердження ще не є фізичним визначенням поняттям сили. Щоб визначити силу як фізичну величину, варто визначити спосіб її виміру. Для цього необхідно вибрати еталон сили (наприклад, силу діючу на тіло з боку динамометра з попередньо проградуйованою шкалою) і використати деякі правила додавання сил, що діють на ту саму матеріальну точку. Ці правила є узагальненням експериментально встановлених фактів і становлять суть так званого принципу суперпозиції сил, який стверджує, що:

1) дія кожної із прикладених до матеріальної точки сил не залежить від характеру її руху, а також від числа й типу інших діючих на неї сил (закон незалежної дії сил). Це означає (з урахуванням визначення сили через прискорення) математично, що

 

(3.6)

 

де - результуюче прискорення матеріальної точки 1,

- прискорення, які надається їй силами діючими з боку тіл (або матеріальних часток) з номерами до = 2, 3, 4,...;

2) сили є векторами, тобто складаються за правилом паралелограма (лінійність закону додавання сил):

 

(3.7)

 

де - результуюча сила, що діє на матеріальну точку 1;

 

3) механічний стан руху матеріальної точки не зміниться, якщо до неї прикласти систему сил, рівну нулю, тобто якщо результуюча сила (3.7) є нуль-вектор.

Описане визначення сили, що випливає зі способу її виміру (так зване операціональне визначення), не описує всіх її властивостей (наприклад, не відповідає на запитання, від яких параметрів ці сили залежать). Такі властивості сили можна вивчити, лише з'ясувавши її співвідношення з іншими фізичними величинами й поняттями. Найважливішим з таких понять є поняття інертної маси.

Інертна маса m є кількісною мірою сприйнятливості тіла до переданого йому механічного руху. Поняття про інертну масу ґрунтується на наступних експериментальних фактах:

1) у кожній СВ відношення величини сили , що діє на деяке тіло, до прискорення , що викликається цією силою, є для цього тіла величиною постійної й називається інертною масою тіла m:

 

. (3.8)

 

Цей факт вказує на спосіб виміру маси тіла: досить вибрати масу деякого тіла за еталон і порівняти прискорення, що надається довільною, але фіксованою силою розглянутому й еталонному тілам;

2) маса є величиною адитивною, тобто маса m будь-якої складної механічної системи дорівнює сумі мас m _i, складових її частин, тобто

 

(3.9)

 

3) інертна маса m будь-якого тіла пропорційна його важкій або гравітаційній масі m _г (пропорційна вазі тіла):

 

. (3.10)

 

Зауваження. Твердження (3.8) і (3.9) спростовуються в СТВ, порушень же (3.10) експериментально дотепер не виявлено, більше того, твердження (3.10) покладено в основу ЗТВ.

Поняття інертної маси дозволяє ввести поняття про три найважливіші динамічні міри руху - імпульсу, моменту імпульсу і кінетичну енергію.

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки визначається формулою

 

. (3.11)

 

Це адитивна векторна величина, тобто для імпульсу системи матеріальних точок маємо:

 

. (3.12)

 

Момент імпульсу (кутовий момент, кінетичний момент, момент кількості руху) матеріальної точки відносно центра О визначається співвідношенням:

 

, (3.13)

 

тобто у загальному випадку залежить від вибору початку координат. Це також адитивна векторна величина, тобто для системи матеріальних точок виконується співвідношення:

 

. (3.14)

 

Кінетична енергія - це скалярна адитивна міра механічного руху, що для матеріальної точки визначається формулою:

 

, (3.15)

 

а для системи матеріальних точок дорівнює:

 

. (3.16)

 

Найважливішою мірою дії сили є робота сили. Якщо під дією деякої сили матеріальна точка перемістилася із точки А в точку В вздовж деякого шляху, то робота сили визначається криволінійним інтегралом:

 

, (3.17)

 

де точкою позначений знак скалярного добутку векторів. Вираз називається елементарною роботою сили на нескінченно малій ділянці шляху. Значення інтеграла (3.17) у загальному випадку залежить від конкретного виду кривої, що з'єднує точки А і В.

Зауваження. Повний фізичний зміст фізичних понять і величин неможливо виявити позатеоретичними законами (і їх наслідків), що включають ці поняття, тобто процес формування теоретичних понять невід'ємний від процесу формування теоретичних законів. У механіці такими теоретичними законами є закони динаміки Ньютона.