Закон збереження моменту імпульсу і його зв'язок з ізотропністю простору.

Наслідком ізотропності простору є збереження моменту імпульсу для замкнутих механічних систем (закон збереження моменту імпульсу).

Дійсно, механічні властивості замкнутої системи (її рівняння руху і потенціальна енергія) внаслідок ізотропності простору не змінюються при повороті системи як єдиного цілого відносно довільного напрямку в просторі на будь-який (у тому числі і нескінченно малий) кут. Для математичного запису цього твердження нагадаємо, що поворот на нескінченно малий кут навколо довільного напрямку можна визначати за допомогою аксіального вектора (), напрямок якого збігається з напрямком довільної миттєвої осі обертання. Тому легко бачити, що при такому повороті системи як цілого радіуси – вектори її матеріальних часток одержать приріст:

, (11.1)

тобто зазначене перетворення повороту дається перетворенням:

. (11.2)

Зміну потенціальної енергії замкнутої системи при цьому формально можна записати у вигляді (див. (10.2))

(11.3)

Однак ніякої зміни потенціальної енергії замкнутої системи при її повороті як цілого в дійсності не відбувається, тобто , або, з врахуванням (11.3) у силу її самостійності ,

. (11.4)

Умова (11.4) містить у собі деякий закон збереження, для одержання якого перетворимо ліву частину (11.4) за допомогою рівнянь руху (10.4): помножимо ліву й праву частини кожного i-го рівняння системи (10.4) векторно на , одержуємо:

, . (11.5)

Зауважуючи, що:

, (11.6)

переписуємо (11.5) у вигляді:

, . (11.7)

Просумувавши почленно рівняння (11.7), знаходимо:

, (11.8)

що дозволяє переписати умову (11.4) в остаточному вигляді:

. (11.9)

Рівняння (11.9) показує, що в процесі руху замкнутої системи зберігається момент імпульсу системи:

. (11.10)

Вектор моменту імпульсу, як це видно з його визначення в § 3, є адитивною величиною для будь-якої замкнутої механічної системи. Таким чином, ізотропність простору призводить до існування в замкнутій системі ще трьох перших адитивних скалярних інтегралів руху – трьох компонентів моменту імпульсу, так що в цілому в замкнутій системі існує сім інтегралів руху, пов'язаних із симетрією простору й часу.

Зауваження 1. У загальному випадку незамкнутої системи момент її імпульсу не зберігається. Можна однак переконатися в справедливості наступного твердження: якщо при повороті як цілого деякої механічної системи, що перебуває в зовнішньому потенціальному полі, відносно якого-небудь напрямку її потенціальна енергія не змінюється, то в такій системі зберігається проекція моменту імпульсу на зазначений напрямок, тобто (доведення цього результату ми опускаємо).

Зауваження 2. Так як задача про відносний рух замкнутої системи із двох матеріальних точок еквівалента задачі про рух однієї точки в центральносиметричному силовому полі, то в цьому останньому випадку також повинен зберігатися , але тільки відносно центра поля.

На закінчення цієї глави зробимо ще одне загальне зауваження про зв'язок між законами збереження й симетріями. Фактично всі наведені в цій главі результати є окремі випадки відомої теореми Нетер, що у своєму найпростішому формулюванні стверджує, що збереження різних динамічних характеристик механічних систем випливає з інваріантності їхніх механічних властивостей (рівнянь руху, потенціальної енергії) відносно тих або інших неперервних перетворень просторових і часових координат (таких, як перетворення зсуву в часі, трансляцій і поворотів системи як єдиного цілого в просторі й т.д.). Строге формулювання теореми Нетер можна дати тільки мовою теорії груп з використанням поняття про функції дії системи.

Розділ 3. Основи аналітичної механіки.

§ 12. Постановка задачі про рух невільної механічної системи. Класифікація в'язів.

Дотепер ми вивчали головним чином рух вільних механічних систем (див. § 6). У цій главі ми викладемо аналітичні методи розв’язку динамічних задач, придатні як для вільних, так і невільних (на які накладені в’язі) механічних систем.

Під невільною (або такою, на яку накладені в’язі) механічною системою будемо розуміти систему матеріальних точок з накладеними на неї додатковими умовами, які обмежують переміщення системи й змінюють характер її руху (у порівнянні з випадком відсутності цих додаткових умов). Ці додаткові умови називаються в'язями, тому що аналітично вони виражаються рівняннями (або нерівностями), що зв'язують у загальному випадку радіуси-вектори й швидкості точок системи:

 

, (12.1)

де k – число накладених на систему в'язів. Конкретно в'язі реалізуються у вигляді поверхонь різних тіл, твердих стрижнів, нерозтяжних ниток і т.д. Ясно, що до числа невільних механічних систем можна віднести такі системи, взаємодія яких із зовнішніми тілами здійснюється шляхом безпосереднього зіткнення (для вільних систем взаємодія із зовнішніми тілами здійснюється тільки на відстані за допомогою різних полів).

Ефект дії в'язів на механічну систему можна врахувати трьома різними способами:

1). Врахуванням силового впливу в'язів, коли ефект дії в'язів враховують введенням деяких сил, названих силами реакції в'язів (або коротше, реакціями в'язів). Тому при складанні рівнянь рухи враховуються, що на кожну точку невільної механічної системи діють два роди сил: задані зовнішні й внутрішні сили , які ми будемо надалі називати активними, і реакції в'язів , які ми будемо називати пасивними силами, оскільки ці сили зникають, якщо в'язі усуваються. На відміну від активних сил, сили реакції в'язів заздалегідь невідомі (замість них відомі тільки рівняння в'язів типу (12.1)), оскільки вони залежать як від характеру активних сил , так і від характеру руху самої системи. Тому в рівняння руху ввійдуть додаткові невідомі величини , що суттєво ускладнить розв’язок цих рівнянь.

 

 

Рис. (12.1) Рис. (12.2) Рис. (12.3)

2). Ефект дії в'язів враховується не заміною їхніми невідомими силами реакції в'язів, а розглядом тих нескінченно малих переміщень точок системи, які можливі при наявності даних в'язів (їх називають можливими переміщеннями; відзначимо, що дійсними переміщеннями точок називають тільки ті з можливих переміщень , які задовольняють не тільки рівнянням в'язів, але й диференціальним рівнянням руху).

3). Нарешті, ефект дії тих же в'язів можна врахувати розглядом не нескінченно малих можливих переміщень , a - класу можливих кінцевих рухів точок системи за кінцевий інтервал часу між деякими двома станами системи (такі рухи називають кінематично можливими). Кожен кінематично можливий рух описується таким набором функцій часу (траєкторій) , підстановка яких у рівняння в'язів обертає останні в тотожності. Ті з кінематично можливих рухів, для яких набір функцій , задовольняє не тільки рівнянням в'язів, але й диференціальним рівнянням руху, називаються дійсним рухом системи.

Можливість врахування ефекту дії тих самих в'язів трьома викладеними способами легко наочно представити на прикладі матеріальної точки М, що рухається по гладкій (ідеальній) поверхні, що є для неї в'язю. У цьому випадку в'язь можна врахувати: 1) або за допомогою заздалегідь не відомої по величині реакцією , спрямованої в будь-який момент часу по нормалі до поверхні (див. мал. (12.1)); 2) або встановивши, що можливими переміщеннями точки М у будь-якому її положенні є тільки такі нескінченно малі переміщення , які перпендикулярні до нормалі , тобто лежать у дотичних площинах до поверхні в'язів (див. мал. (12.2)); 3) або вказавши, що клас кінематично можливих рухів точки М з деякого положення А в положення В містить тільки такі криві АВ, які належать поверхні в'язі (одна із цих кривих зображує дійсний рух точки – див. мал. (12.3)). На малюнках дійсна траєкторія точки М зображена суцільною кривою, а дійсне переміщення на мал. (12.2) спрямовано по дотичній до дійсної траєкторії точки.

Зауваження. Урахування ефекту дії в'язів за допомогою реакцій в'язів використовується при формулюванні так званих неваріаційних принципів механіки (до них відносяться, наприклад, 2-й закон Ньютона, принцип Д'Аламбера). Врахування в'язів у термінах можливих переміщень використовується при формулюванні диференціальних варіаційних принципів механіки (таких як принцип можливих переміщень, принцип Д'Аламбера-Лагранжа, принцип Гауса, принцип Герца). Нарешті, врахування дії в'язів за допомогою розгляду кінематично можливих рухів системи дозволяє сформулювати інтегральні варіаційні принципи механіки (сюди відносяться різні форми принципів найменшої дії). Найбільш загальні із цих принципів будуть нами розглянуті в цій главі.

Для більш глибокого вивчення структури в'язів і механізму їхнього силового впливу на механічну систему необхідно ці в'язі класифікувати за різними ознаками, що відбиває ті або інші їхні властивості. Особливо важливою для розвитку механіки виявилася класифікація в'язів, пов'язана з конкретизацією відповідей на наступні чотири питання: 1) які обмеження накладають в'язі на швидкості матеріальних точок системи? (у зв'язку із цим розрізняють голономні і неголономні типи в'язів); 2) змінюються або не змінюються в'язі з часом? (у зв'язку із цим розрізняють стаціонарні й нестаціонарні в'язі); 3) чи призводить накладення в'язів до зменшення числа ступенів свободи системи? (у зв'язку з відповіддю на це питання в'язі розділяють на утримуючі й не утримуючі); 4) який загальний характер сил реакції? (у цьому зв'язку розрізняють ідеальні і реальні в'язі).

Голономними (або геометричними) називаються такі в'язі, рівняння яких можна привести до виду:

 

, (12.2)

де - функції тільки координат точок і часу (k – число накладених на систему в'язів). Хоча рівняння (12.2) не містять швидкостей точок у явному вигляді, однак легко бачити, що голономні в'язі накладають певні обмеження не тільки на положення, але й на швидкості точок системи. Дійсно, диференціюючи рівняння (12.2) за часом, одержуємо:

 

(12.3)

 

Ці рівняння називаються диференціальними рівняннями голономних в'язів (12.2). З (12.3) видно, що голономні в'язі накладають обмеження тільки на ті складові швидкостей, які паралельні векторам , але немає ніяких обмежень ні на інші складові швидкостей, ні на абсолютні значення швидкостей точок. Важливою особливістю голономних в'язів є те, що їхні диференціальні рівняння (12.3) завжди можна привести до вигляду:

 

 

і про інтегрувати. Тому голономні в'язі називають також інтегрувальними.

Неголономними (не інтегрувальними або кінематичними) називаються такі в'язі, рівняння яких:

 

 

містять явно і не зводяться до вигляду (12.2). У фізичних додатках неголономні в'язі зустрічаються рідко і тому надалі ми будемо розглядати тільки голономні механічні системи. Відзначимо, що рух неголономних систем вивчаються за допомогою спеціальних рівнянь (наприклад, рівнянь Чаплигіна, рівнянь Апеля).

Стаціонарними (або такими, що не деформуються) називаються такі в'язкі, у рівняння яких явно не входить t, тобто для який ; в іншому ж випадку в'язі називають нестаціонарними (або такими, що деформуються).

Утримуючими називаються в'язі, що задаються рівностями типу (12.2), а не утримуючі в'язі визначаються нерівностями типу (12.1): (прикладом системи з не утримуючими в’язями може бути матеріальна точка, що рухається усередині сферичної порожнечі радіуса а; в'язь тут задається нерівністю ). Накладення на механічну систему утримуючих в'язів обов'язково приводить до зменшення її числа ступенів свободи, тобто числа незалежних параметрів, що однозначно визначають положення системи в просторі (число ступенів свободи S такої системи визначається формулою , де n-число матеріальних точок системи, k-число утримуючих в'язів). Не утримуючі в'язі не зменшують число ступенів свободи системи.

Починаючи обговорювати питання про визначення понять ідеальних і реальних в'язів, сформулюємо спочатку ці поняття для невільної матеріальної точки (тобто точки, що рухається по заданій поверхні або заданій кривій). В'язь у цьому випадку називають ідеальною, якщо сила реакції спрямована по нормалі (див. мал. (12.1)); у цьому випадку , тобто реакція ідеальної в'язі не виконує роботи по переміщенню точки. Якщо ж спрямована під кутом до , то в'язь називається реальною, а поверхня або крива ¾ «шорсткуватими». Проекцію на дотичну до траєкторії матеріальної точки, що рухається, називають силою тертя ковзання. Узагальнення цих понять на випадок довільної невільної системи вимагає попереднього знайомства з поняттями віртуальних переміщень і віртуальної роботи.

Розглянемо два нескінченно близькі можливі переміщення й

довільної i-ої точки системи, що відбуваються за той самий нескінченно малий проміжок часу : і . Різниця цих переміщень називається віртуальним переміщенням матеріальної точки:

 

. (12.4)

 

Будемо тепер вважати, що на механічну систему накладено k- утримуючих голономних в'язів (12.2). Тоді швидкості її точок повинні задовольняти k -умовам (12.3). Тому можливі переміщення , задовольняють співвідношенням вигляду:

, (12.5)

 

які отримуються множенням (12.3) на . Очевидно тепер, що віртуальні переміщення (12.4) задовольняють рівнянням

, (12.6)

Якби в'язі були стаціонарними (тобто ), то рівняння (12.5) для й рівняння (12.6) для збігалися б між собою. Тому віртуальні переміщення часто визначають як такі , які потенційно можливі для даного фіксованого моменту часу t=const, у якому в'язі як би “ застигають ” і припиняють змінюватися. Віртуальні переміщення не обумовлені дією яких-небудь сил і тому не мають тривалості. Таким чином, поняття про віртуальні переміщення системи є чисто геометричним поняттям, що характеризує тільки структуру накладених на систему в'язів. З викладеного ясно, що поняття про можливі й віртуальні переміщення збігаються тільки для систем зі стаціонарними в'язями, тому що тільки в цьому випадку рівняння (12.5) і (12.6) для них збігаються.

Математичне зауваження. В математиці величини, подібні (12.4) називаються варіаціями функцій, так що є варіація радіуса-вектора відповідної точки системи, причому в декартовій системі координат:

 

(12.7)

 

Під варіацією функції x(t) розуміють такий малий її приріст , що не пов'язаний зі зміною аргументу t (тому що t=const), а обумовлений варіюванням (зміною) самої функції, тобто переходом від функції x(t) до близької до неї функції .

 

 

 

Рис. (12.4)

 

 

На малюнку (12.4) показана різниця між диференціалом і варіацією функції . У результаті варіювання радіусів-векторів (t) точок системи одержують приріст і будь-які функції вигляду . Тому ліві частини кожного зі співвідношень (12.6) варто розглядати як правила віднімання варіацій функцій , тобто по визначенню:

 

. (12.8)

 

Поняття про віртуальні переміщення системи дозволяє увести поняття про віртуальну роботу – ще одне чисто геометричне поняття, що характеризує структуру накладених на систему в'язів. Віртуальною роботою називається робота активних сил і сил реакції в'язів , прикладених до i- ої точки, на її віртуальному переміщенні . Віртуальна робота над системою складається з віртуальної роботи активних сил і віртуальної роботи сил реакцій в'язів, обумовлених формулам:

 

. (12.9)

 

Тепер ми можемо дати строге визначення поняття ідеальних в'язів для довільної невільної механічної системи (вище це було зроблено тільки для матеріальної точки). Ідеальними й утримуючимив'язями називаються такі в'язі, для яких віртуальна робота всіх реакцій в'язів дорівнює нулю на будь-якому віртуальному переміщенні системи, тобто:

 

. (12.10)

 

Реальні в'язі призводять до порушення рівності (12.10). Надалі ми будемо вивчати тільки голономні системи з ідеальними утримуючими в'язями, тому що для реальних (неідеальних) в'язів основна задача динаміки в загальному випадку не є визначеною. Покажемо це, з огляду на ефект дії в'язів за допомогою заздалегідь невідомих реакцій в'язів .

Основна динамічна задача про рух невільної механічної системи з Голономними в'язями складається у відшуканні по заданим активним силам і заданим рівнянням в'язів (12.2) закон її руху і сили реакції в'язів . Ця задача зводиться до спільного розв’язку системи диференціальних рівнянь руху (див. § 6) і рівнянь в'язів:

 

, (12.11)

(12.12)

з початковими умовами, що задовольняють рівнянням в'язів (12.2). Тут n – число матеріальних точок системи, k – число накладених в'язів (найцікавіший випадок, коли k<3n), а й рівні (див. §6)

 

, (12.12)

 

де - сила реакції в'язів з номером a на i-ю точку. Система 3n+k скалярних рівнянь (12.11) – (12.2) містить 6n -невідомих величин: 3n координат точок та 3n-проекцій сил реакцій в'язів. Таким чином, у загальному випадку число невідомих більше числа рівнянь (6n>3n+k) і сформульоване завдання є невизначеним.

Покажемо, що основна задача динаміки виявляється повністю визначенною для голономних систем з ідеальними в'язями. Для цього досить довести, що умова ідеальності в'язів (12.10) дозволяє одержати замкнуту систему рівнянь типу (12.11) – (12.2). Із цією метою помножимо кожне зі співвідношень (12.6) на невизначений множник - і отримані рівності складемо з умовою ідеальності в'язів (12.10). У результаті одержуємо рівність:

 

. (12.13)

 

де k-варіацій координат точок є залежними, а інші 3n-k варіацій – незалежними. Підберемо тепер множники так, щоб коефіцієнти при k- варіаціях координат оберталися в нуль (така процедура завжди здійсненна). Після цього в (12.13) залишиться 3n-k доданків, що містять варіації тільки незалежних координат, і так як зазначені варіації можна задавати довільно, то коефіцієнти при них також повинні обертатися в нуль. Таким чином, ми дійдемо висновку, що сили реакції ідеальних в'язів являють собою лінійні суперпозиції градієнтів від функцій , які визначають в'язі, тобто:

 

. (12.14)

 

Підставляючи вираз (12.14) в (12.11), одержуємо замість (12.11) - (12.2) систему рівнянь

(12.15)

 

які називаються рівняннями Лагранжа першого роду. (12.15) є замкнута система 3n+k скалярних рівнянь відносно 3n+k невідомих: 3n координат точок й k- невизначених множників Лагранжа .

 

Проілюструємо постановку основної задачі динаміки для найпростішої голономної системи з в’язями. Для прикладу розглянемо матеріальну точку маси m, що рухається в заданому силовому полі по поверхні сфери радіуса a. Диференціальні рівняння руху такої системи можна записати у вигляді (12.11)

. (12.16)

Замість відомо тільки рівняння в'язів (рівняння сфери)

 

. (12.17)

 

Очевидно, що для системи чотирьох рівнянь (12.16) – (12.17) недостатньо для визначення шести невідомих величин: . Для пошуку розв’язку необхідні деякі додаткові відомості про конкретну реалізацію в'язів (12.17) і характер її силового впливу на точку m. Конкретизуємо задачу: допустимо,що точка m підвішена на нерозтяжній твердій нитці довжиною a і робить малі коливання в полі тяжіння Землі, тобто (сферичний математичний маятник). У цьому випадку (натяг нитки підвісу) у будь-який момент часу спрямований уздовж нитки, а в'язь є ідеальною, тому що й умова ідеальності (12.10) задовольняється. Тому згідно (12.14) і (12.17) маємо:

 

 

Змінюючи позначення невідомої постійної , одержуємо звичний запис для натягу нитки підвісу з початком координат у точці підвісу. Таким чином, конкретизована задача зводиться до розв’язку системи чотирьох скалярних рівнянь Лагранжа першого роду:

 

(12.18)

 

для чотирьох невідомих функцій і . Відзначимо, що початкові умови в цій задачі не можуть бути довільними, а повинні бути задані так, щоб і у початковий момент задовольнялося рівняння в'язів (12.17), тобто точка перебувала на сфері, а вектор її швидкості лежав у площині, дотичній до сфери, так як диференціальне рівняння в'язів згідно (12.3) і (12.17) має вигляд (12.19)

Зауваження. Спосіб розв’язку основної задачі динаміки для невільних механічних систем з голономними й ідеальними в'язями, що призводить до рівнянь Лагранжа першого роду (12.15), має наступні істотні недоліки: 1) система 3n+k скалярних рівнянь (12.15) у загальному випадку дуже складна, тому що «претендує» на одночасне визначення і координат точок системи і сил реакції в'язів (відзначимо, що зі збільшенням числа в'язів число ступенів свободи системи S=3n-k зменшується, а число рівнянь 3n+k зростає, тобто при цьому зростають складності математичного аналізу системи (12.15)); 2) викладений спосіб розв’язку суттєво використовує чисто механічне поняття сили, тому його застосування обмежене тільки реакціями механіки й не допускає узагальнення на інші розділи фізики, де поняття сили незастосовне (наприклад, у класичній і квантовій теорії фізичних полів).