Основна задача динаміки та роль початкових умов. Принцип причинності класичної механіки.

 

Розглянемо рух відносно ІСВ деякої механічної системи, що складається з n матеріальних точок з постійними масами m₁, m₂, …, m_n... Якщо позначити через рівнодіючу (результуючу) всіх сил, що діє на i-ю точку, то застосування до цієї системи другого закону Ньютона (4.3) дозволяє записати її рівняння руху у вигляді:

 

, . (6.1)

 

Якщо розглянута система не замкнута, то кожну можна записати у вигляді

 

, (6.2)

 

де - рівнодіюча всіх внутрішніх сил з боку інших (j ≠ і) точок системи; - рівнодіюча всіх зовнішніх сил, які діють на i-у точку системи з боку тіл, що не входять у цю систему. Таким чином, диференціальні рівняння руху механічної системи можна остаточно записати у вигляді:

(6.1')

 

В (6.1’) передбачається, що внутрішні сили задовольняють третьому закону Ньютона (4.5). Відносно зовнішніх сил будемо припускати, що вони в загальному випадку можуть явно залежати від часу t, та так само від положення й швидкостей відповідних точок системи відносно зовнішніх тіл.

Основна задача динаміки полягає у відшуканні радіусів-векторів матеріальних точок як функцій часу і їхніх швидкостей по заданим внутрішнім і зовнішнім силам і відомим масам часток m_i. У математичному відношенні ця задача зводиться до знаходження загального розв’язок системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку (6.1’).

Зауваження. Для подальшого суттєво, що далеко не завжди зовнішні сили можуть бути задані (відомі) до рішення основної задачі динаміки. Справа в тому, що в більшості завдань механіки доводиться вивчати рух так званих невільних систем, тобто систем, переміщення яких обмежені зв'язками. Ефект дії зв'язків у рівняннях (6.1’) враховується за допомогою таких зовнішніх сил, які називаються реакціями в'язів і величин, які заздалегідь невідомі, що істотно ускладнює розв’язок рівнянь руху. Тому сам характер постановки основної задачі динаміки тут (заданість усіх ) виключає поки розгляд невільних механічних систем, тобто подальші висновки справедливі фактично тільки для так званих вільних систем. Будемо називати механічну систему вільної, якщо під дією прикладених сил матеріальні точки можуть займати будь-які положення в просторі – для таких систем у будь-який момент часу t можна довільним чином задати значення і всіх її точок.

Загальний хід розв’язку основної задачі динаміки зводиться до наступного. Знаходимо загальнийрозв’язок системи рівнянь (6.1’), що (якщо він взагалі існує) можна представити у вигляді

 

, . (6.3)

 

Диференціюючи (6.3) по t можна одержати швидкості - матеріальних точок як функцій часу

, . (6.4)

 

Загальнийрозв’язок (6.3) і (6.4) містить 6n - довільних сталих с₁, с₂,…,с_6n (тому що (6.1’) у будь-якій системі координат є система 3n -диференціальних рівнянь 2 ^го порядку), тому подальша конкретизація цього розв’язку пов’язана з визначенням цих сталих як деяких фізичних характеристик системи. Покажемо, що c₁, c₂,…,c_6n можна виразити через так звані початкові координати і швидкості точок системи в момент часу t =0, скориставшись початковими умовами наступного виду:

 

, . (6.5)

 

Дійсно, (6.5) є система 6n- алгебраїчних рівнянь відносно 6n сталих c₁, c₂, …, c_6n, тому єдине розв’язок (6.5) можна записати у вигляді

 

, . (6.6)

 

Нарешті, підстановка (6.6) в (6.3) і (6.4) дозволяє одержати остаточне розв’язок основної задачі динаміки:

 

, . (6.7)

 

З обговорення загального ходу розв’язку основної задачі динаміки можна зробити наступні важливі висновки:

1. Стан (вільної) механічної системи в будь-який момент часу t повністю визначається заданням і всіх матеріальних точок системи в той же момент часу t.

Це означає, що в цей же момент часу t однозначно визначаються й прискорення матеріальних точок, знання яких необхідні для прогнозування поведінки системи в наступні моменти часу. Однак, на відміну від і прискорення не можна задавати довільно, тому що вони визначаються рівняннями руху (6.1’).

Відзначимо, що можливість визначення стану механічної системи за допомогою її координат і швидкостей (або імпульсів) базується на допущенні класичною механікою можливості одночасного виміру положення й швидкості матеріальної точки, отже, будь-яких механічних характеристик системи (які є функціями координат і швидкостей). Це означає, що взаємодією вимірювального приладу з механічною системою завжди можна зневажити в силу його малості. Тому вважається, що процес виміру будь-якої фізичної величини не змінює стану руху системи й, отже, не змінює самої вимірюваної величини (наприклад, вимір положення матеріальної точки не позначається на її координатах). Хоча зазначене допущення з великою точністю виконується для макроскопічних систем, однак для мікрооб'єктів воно несправедливо (наприклад, у мікрочастинок не можна одночасно точно виміряти координату x й імпульс p_х). Тому для мікросистем зазначений вище спосіб визначення стану виявляється повністю непридатним.

2. Заданням початкового стану механічної системи однозначно визначається її поведінка й у всі наступні моменти часу.

Це означає, що якщо задані умови руху системи, тобто задані сили , то за початковим станом системи в момент часу t =0 можна однозначно спрогнозувати її стан й у всі наступні моменти часу t >0.

Сформульоване твердження являє собою принцип причинності класичної механіки, або так званий принцип лапласівського детермінізму. Це є власне формулювання (справедлива тільки в рамках МКС) загального принципу причинності – одного з найважливіших методологічних принципів фізики.