Рівняння Лагранжа. Функція Лагранжа.

У цьому параграфі ми викладемо такий спосіб розв’язку основної динамічної задачі для механічних систем з в’язями, який не містить недоліків способу викладеного в § 12. Основна ідея полягає в тому, щоб загальну динамічну задачу про відшукання закону руху системи і сил реакції в'язів розбити (розчленувати) на дві задачі: 1) знайти спочатку закон руху системи (цю задачу надалі ми й будемо називати основною); для цього необхідно одержати замкнуту систему рівнянь для S =3n-k незалежних координат системи (за допомогою яких можна задати стан системи з в’язями в будь-який момент часу); 2) потім за допомогою рівнянь (12,11) визначити й невідомі , якщо в цьому є необхідність (ця задача тривіальна в порівнянні з першою, тому що її розв’язок зводиться до взяття других похідних за часом від координат, що завжди здійсненно). Надалі ми будемо вирішувати тільки основну задачу знаходження закону руху механічної системи з в’язями, що складається з n- матеріальних точок, на які накладене k - ідеальних, утримуючих голономних в'язів. Необхідні для розв’язку цієї задачі рівняння руху можна одержати послідовним виключенням із системи рівнянь Ньютона (12,11) спочатку невідомих сил реакцій в'язів , а потім і залежних координат системи з в’язями.

Для виключення сил реакцій в'язів, помножимо скалярно кожне з рівнянь руху (12,11) на віртуальне переміщення відповідної точки й складемо почленно результати множення. Одержуємо рівняння:

 

(13,1)

 

В силу умови ідеальності в'язів (12,10) остання сума в (13,1) обертається в нуль, тому перепишемо (13,1) у вигляді:

 

(13,2)

 

Рівняння (13,2) являє собою математичне формулювання одного з найважливіших диференціальних варіаційних принципів механіки – принципу Д’Аламбера – Лагранжа, що стверджує: якщо на механічну систему накладені утримуючі, голономні й ідеальні в'язі, то в кожен момент часу сума віртуальних робіт всіх активних сил і так званих “ сил інерції ” Д’Аламбера дорівнює нулю для будь-якого віртуального переміщення системи. Рівняння (13,2) називають також загальним рівнянням динаміки голономних систем, тому що його можна прийняти в якості основної і єдиної аксіоми для побудови теорії руху таких систем (з нього можна одержати будь-які інші рівняння руху, тобто такі, як рівняння Ньютона, так і рівняння Лагранжа).

Рівняння (13,2) містять варіації як незалежних, так і залежних координат системи з в’язями, тому що на неї накладена k -в'язів виду (12,2). Тому для одержання з (13,2) диференціальних рівнянь руху необхідно виключити із цього рівняння варіації залежних координат, тобто перейти до незалежних (або, як говорять, узагальнених) координат механічної системи.

Узагальненими (або незалежними) координатами механічної системи називають будь-які 3n-k величин (число яких збігається із числом ступенів свободи системи s=3n-k), що однозначно визначають положення системи в просторі в будь-який момент часу. Із цього визначення випливає, що узагальнені координати повинні задовольняти наступним двом вимогам:

1) Декартові координати точок повинні бути однозначними функціями узагальнених координат вигляду:

 

, (13,3)

 

якщо на систему накладені нестаціонарні в'язі, або в'язі вигляду:

 

, (13,4)

 

якщо на систему накладені стаціонарні в'язі.

2) Узагальнені координати необхідно вибирати в повній відповідності з накладеними на систему в'язями. Це означає, що рівняння в'язів (12,2) повинні обертатися в тотожність при підстановці в них функцій (13,3) або (13,4).

Пояснимо сказане на прикладі сферичного маятника, розглянутого в § 12. Для цієї системи n=1, k=1, тому s=3n–k=2, тобто положення маятника можна задати за допомогою двох узагальнених координат, у якості яких можна вибрати сферичні координати θ і φ. При цьому декартові координати однозначно виражаються через θ і φ:

 

, (13,5)

 

а рівняння в'язів (12,17) обертається в тотожність при підстановці в нього функції (13,5), що легко перевірити.

Зауваження. В §6 ми бачили, що станвільної системи в будь-який момент часу визначається одночасним заданням її декартових координат і декартових компонент швидкостей точок . Аналогічно, стан системи з в’язями в будь-який момент часу повністю визначається одночасним завданням її узагальнених координат й узагальнених швидкостей . Ясно, що фізично таке визначення стану системи засновано на допущенні про можливості одночасного точного виміру в макроскопічних тілах будь-яких фізичних величин (див. §6).

Випишемо тут ряд формул, якими ми надалі скористаємося, описуючи перехід від декартових координат до узагальнених. Для віртуальних переміщень із (13,3) маємо:

 

, (13,5)

 

де - варіації узагальнених (незалежних) координат. Зв'язок між швидкостями точок й їхніми узагальненими швидкостями одержуємо, диференціюючи (13,3) за часом:

 

. (13,6)

 

Так як згідно (13,6) швидкості є лінійні функції узагальнених швидкостей , то беручи часткові похідні по від співвідношень (13,6), одержуємо тотожності:

 

. (13.7)

 

Далі, з огляду на те, що є функції узагальнених координат і часу t, та використовуючи (13,6) одержуємо:

 

таким чином остаточно маємо тотожності:

 

. (13,8)

 

Перейдемо тепер у рівнянні (13,2) до узагальнених координат. Підставляючи в (13,2) вираження (13,5) і змінюючи порядок виконання операцій підсумовуванням по індексах i та α;, одержуємо:

 

(13,9)

 

Уведемо позначення:

 

(13,10)

 

 

і назвемо скалярну величину узагальненою силою, що відповідає незалежній координаті . Так як віртуальні переміщення незалежні, то всі коефіцієнти при всіх переміщеннях у лівій частині рівності (13,9) повинні обертатися в нуль, тобто з врахуванням (13,10) маємо рівняння:

 

(13,11)

 

Це і є, по суті справи, шукані рівняння руху в узагальнених координатах, де й згідно (13,3) і (13,6) варто розглядати як функції узагальнених координат і швидкостей: , . Тут і надалі ми скористаємося скороченими позначеннями: і . Для кращого розуміння фізичного змісту величини, що є в лівій частині (13,11), проробимо з нею ряд тотожних перетворень. Насамперед помітимо, що:

 

 

звідки з урахуванням тотожностей (13,7) - (13,8) одержуємо:

 

 

і, отже,

 

(13.12)

 

де - кінетична енергія системи, представлена як функція узагальнених координат , узагальнених швидкостей і часу .

З врахуванням (13.12) перепишемо рівняння (13.11) в остаточному вигляді:

 

. (13.13)

 

Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа другого роду або просто рівняннями Лагранжа. Вони справедливі для будь-якої механічної системи з ідеальними голономними й утримуючими в'язями.

Невідомими в цих рівняннях є функції , які однозначно визначають положення системи в просторі (причому число невідомих дорівнює числу рівнянь). Велика перевага рівнянь Лагранжа полягає в тому, що їхнє число дорівнює числу ступенів свободи системи й не залежить від кількості вхідних у систему точок і тіл. Наприклад, машини й механізми складаються з багатьох тіл (деталей), а мають звичайно одну-дві ступені свободи; отже, вивчення їхнього руху потребує складання лише одного-двох рівнянь Лагранжа (тому вони широко використовуються в динаміці машин і механізмів, у теорії коливань, теорії гіроскопа і т.д.).

Методика застосування рівнянь Лагранжа до розв’язку конкретних задач складається з наступних кроків:

1) вибираються узагальнені координати системи (для складних систем – це нетривіальна задача);

2) знаходиться явний вираз для й за допомогою (13.10) по заданим силам визначаються узагальнені сили ;

3) складаються рівняння (13.13) у явному вигляді (після підстановки в лівій частині рівняння (13.13) будуть містити , т. ч. будуть звичайними диференціальними рівняннями другого порядку відносно невідомих );

4) інтегруючи ці рівняння й визначаючи сталі інтегрування по початковим або крайовим умовам, знаходять залежності , тобто закон руху системи в узагальнених координатах (при необхідності за допомогою (13.13) знаходять потім координатну форму закону руху системи ).

Зауваження 1. Рівняння Лагранжа (13.13) мають велике значення також і для динаміки вільних механічних систем, стосовно яких вони збігаються з рівняннями руху Ньютона, записаними в довільній (залежної від вибору узагальнених координат) системі криволінійних координат (доведення цього твердження ми опускаємо).

Зауваження 2. Варто мати на увазі, що вибір узагальнених координат системи неоднозначний: якщо q й - два набори узагальнених координат однієї й тієї ж системи, то ці набори є однозначні функції один одного вигляду:

 

(13.14)

 

Перетворення (13.14) від одного набору узагальнених координат q до іншого набору називають точковими перетвореннями. Підставляючи (13.14) в (13.13), одержуємо новий однозначний вираз через :

 

(13.15)

 

Ясно, що якщо тепер переходити в рівнянні (13.12) до узагальнених координат за допомогою (13.15), то одержимо рівняння Лагранжа тієї ж форми, що й (13.13), але тільки в штрихованих координатах. Таким чином, рівняння Лагранжа інваріантні відносно точкових перетворень (13.14).

Дослідимо тепер більш докладно структуру рівнянь Лагранжа (13.13) для різних класів (див. § 7) механічних систем. Ця структура визначається конкретним виглядом узагальнених сил і кінетичною енергією Т. Розглянемо спочатку залежність форми (13.13) від вигляду функцій .

Нехай всі активні сили (як внутрішні так і зовнішні) є потенціальними, тобто =- , де - повна потенціальна енергія системи (див. § 7). Підставляючи сюди (13.3), тобто розглядаючи U як неявну функцію узагальненої сили (13.10), маємо:

 

, (13.16)

 

де , а залежність від є результатом не стаціонарності в'язів. Очевидно, що не залежить від узагальнених швидкостей , тобто

. (13.17)

 

З урахуванням (13.16) і (13.17) рівняння Лагранжа (13.13) можна представити у вигляді:

 

,

 

або

, (13.18)

 

де функція узагальнених координат , узагальнених швидкостей і часу вигляду:

 

(13.19)

 

називається функцією Лагранжа механічної системи. Хоча тут функцію Лагранжа (13.19) ми ввели формальним чином з метою запису рівнянь Лагранжа (13.13) для механічних систем з потенціальними активними силами у формі (13.18), однак в § 14 ми покажемо, що є найважливішою функцією стану механічної системи.

 

Зауваження 1. Легко переконатися, що до вигляду (13.18) рівняння Лагранжа (13.13) приводяться також і для класу механічних систем з узагальнено-потенціальними силами, тобто для таких систем, узагальнені сили яких можна представити у вигляді:

 

, (13.20)

 

де - так званий узагальнений потенціал, або потенціал, що залежить від швидкості. Функція Лагранжа для зазначених систем визначається як різниця кінетичної енергії системи і її узагальненого потенціалу, тобто:

 

. (13.21)

 

Найважливішим прикладом системи з узагальнено-потенційними силами є система заряджених часток, що рухаються в зовнішньому електромагнітному полі. Наприклад, у вигляді (13.20) можна представити силу Лоренца (див. частина II цього курсу).

Зауваження 2. Якщо на механічну систему поряд з потенційними (або узагальнено-потенційними) активними силами діють і дисипативні сили (тобто сили системи, що приводять до розсіювання механічної енергії,), то при записі рівнянь Лагранжа (13.13) діють таким чином. Кожну узагальнену силу розбивають на дві частини:

 

, (13.22)

 

де (або )

- узагальнені сили, обумовлені дією на систему тільки потенціальних (або узагальнено-потенціальних) сил, і:

 

, (13.23)

 

- узагальнені сили, що виникають у результаті дії на систему не потенціальних дисипативних сил в’язкого тертя. Легко бачити, що рівняння Лагранжа (13.13) у цьому випадку можна представити у вигляді:

 

, (13.24)

 

де (або ).

 

Розглянемо тепер структуру кінетичної енергії невільної системи і її вплив на вигляд . По визначенню (див. § 3 й § 9) кінетична енергія будь-якої системи є однорідною й позитивно визначеною квадратичною формою швидкостей матеріальних точок системи. Однак кінетична енергія невільної системи в загальному випадку виявляється неоднорідною квадратичною формою відносно узагальнених швидкостей системи.

Дійсно, підставляючи (13.6) у визначення кінетичної енергії, одержуємо:

 

, (13.25)

 

де

, , (13.26)

 

, , (13.27)

 

. (13.28)

 

Таким чином, з (13.25) – (13.28) видно, що не стаціонарність в'язів, що накладаються на механічну систему, приводить до двох ефектів: 1) виявляється неоднорідною квадратичною формою ; 2) як так і системи стають явно залежними від часу.

У випадку, коли на систему накладені тільки стаціонарні в'язі, а всі активні сили, що діють на неї, є потенційними, то , і функцію Лагранжа системи можна представити у вигляді (див. (13.19) і (13.26)):

 

. (13.29)

 

Так як розглянутої системи є однорідна квадратична форма від , то корисно наступне:

математичне зауваження. Якщо - однорідна функція порядку n, то має місце рівність (теорема Ейлера)

 

. (13.30)

 

Дійсно, функція називається однорідною порядку n, якщо

 

= . (13.31)

 

Диференціюючи (13.31) по , маємо:

 

.

 

Полягаючи тут, що =1, ми приходимо до (13.30).

На підставі теореми Ейлера (13.30) для кінетичної енергії маємо наступну рівність:

 

, (13.32)

 

якою ми надалі скористаємося.

Зауваження. Найважливіше значення рівнянь Лагранжа у формі (13.18) полягає в тому, що при відповідному узагальненні понять їх можна використовувати не тільки в механіці, але й в інших розділах фізики, наприклад для вивчення руху класичних фізичних полів, тобто систем з нескінченним числом ступенів свободи.