Гамільтона-Остроградського.

Математичні методи, розвинені в § 15, дозволяють одержати нове формулювання класичної механіки, коли в якості основної її аксіоми приймається деякий інтегральний варіаційний принцип – принцип найменшої дії. Цей принцип пов'язаний з вивченням екстремальних властивостей деякої інтегральної характеристики руху механічної системи, що є в математичному плані функціоналом типу (15.10).

На справедливість зробленого твердження нас наштовхують наступні формальні міркування. Якщо в рівняннях Ейлера (15.20) зробити формальні заміни: , , і , то рівняння (15.20) збіжаться з рівняннями Лагранжа у формі (13.18). Це означає, що рівняння Лагранжа (13.18), які є диференціальними рівняннями руху голономних механічних систем з ідеальними в'язями й потенційними (або узагальнено-потенційними) активними силами, можна розглядати як рівняння Ейлера стосовно основного варіаційної задачі для деякого функціонала S типу (15.10), що має з врахуванням зазначених формальних замін вигляд:

 

. (16.1)

 

Т. ч., результати § 15 дозволяють стверджувати: рівняння Лагранжа (13, 18) рівносильні вимозі обернення до нуля варіації функціонала (16, 1):

. (16.2)

 

Для того, щоб розкрити фізичний зміст варіаційного рівняння (16,2), тобто звести його в статус фізичного принципу, необхідно осмислити фізичну постановку задачі, що приводить до необхідності й достатності вимоги (16,2), а також додати фізичний зміст функціоналові . Із цією метою зручно скористатися поняттям розширеного конфігураційного простору механічної системи, яким називається абстрактний простір узагальнених координат і часу розмірності ,де - число ступенів свободи системи (просто конфігураційним простором називається простір вимірів – див. напр., Голдстейна).

Так як кожен набір координат задає просторове положення системи в момент часу (тобто конфігурацію системи), то кожній точці розглянутого конфігураційного простору з координатами однозначно відповідає певна конфігурація системи в момент . Для наочності вмовимося використовувати наступне геометричне зображення розглянутого конфігураційного простору на площині: по осі абсцис будемо відкладати час , а по осі ординат – сукупність значень всіх узагальнених координат ; тоді маємо відповідність: точки на площині відповідає певна конфігурація системи в момент .

 

Тепер поставимо наступну фізичну задачу.

Нехай за невеликий (але кінцевий) проміжок часу зв'язана система переходить у результаті свого руху з деякої заданої конфігурації в нову задану конфігурацію (див. мал. (16.1)).

 

 

Накладені на систему в'язі допускають безліч різних кінематично можливих рухів за той самий час системи (див. тему (5) § 12, особливо мал. (12.3)), які на мал. (16.1) зображені пунктирними конфігураційними траєкторіями ; при цьому один із цих рухів є дійсним (суцільна траєкторія на мал. (16,1)). Виникає задача: як із всіх кінематично можливих за той самий час рухів виділити дійсний рух системи, тобто, інакше кажучи, як знайти закон руху механічної системи, якщо й задані граничними умовами:

(16.3)

 

Вимога (16.2) і є достатньою умовою розв’язку поставленої фізичної задачі, тобто з (16.2) автоматично випливає закон руху системи.

Дійсно, для досліджуваної системи, як ми показали на початку цього параграфа, з (16.2) автоматично з необхідністю випливають (як рівняння Ейлера) рівняння Лагранжа (13.18), розв’язок яких і дають закон руху системи.

Покажемо тепер необхідність вимоги (16.2) для дійсного руху голономної системи з ідеальними в'язями й узагальнено-потенційними активними силами, тобто доведемо, що з рівнянь Лагранжа (13.18) з необхідністю випливає умова (16.2). Для цього кожне з рівнянь (13.18):

 

,

 

з номером помножимо на й складемо отримані результати, що приводить до рівняння:

. (16.4)

 

За допомогою очевидної тотожності:

 

 

перепишемо (16.4) у вигляді:

 

 

або з урахуванням визначення варіації функції (див. § 15) і , у вигляді:

. (16.4’)

 

Множачи (16.4’) на й інтегруючи в межах від до , одержуємо:

 

,

 

звідки, з огляду на те, що згідно (16.3) , і беручи до уваги можливість переміщення операцій інтегрування й варіювання (15.28), ми й приходимо до необхідності умови (16.2).

Викладене приводить нас до висновку, що функціонал , визначений формулою (16.1), є найважливішою скалярною характеристикою руху механічної системи, що називається функцією дії або просто дією по Гамільтону. Дія , що має розмірність добутку енергії на час (), має наступні загальні властивості: 1) є функціонал, областю визначення якого є клас кінематично можливих рухів системи за той самий час; 2) приймає екстремальне (мінімальне при досить малому часі розгляду руху) значення для дійсного (фактично відбувається) руху системи.

Тепер ми можемо сформулювати один з найважливіших варіаційних принципів класичної механіки – принцип найменшої дії (ПНД) Гамільтона-Остроградського (перша половина ХІХ ст.): серед всіх кінематично можливих рухів механічної системи з однієї конфігурації в іншу (близьку до першого), що відбуваються за той самий проміжок часу, дійсним є той рух, для якого дія по Гамільтону буде найменшою; математичне вираження ПНД має вигляд (16.2), де - символ неповної (ізохронної) варіації (тобто на відміну від повної варіації в ній час не варіюється).

Хоча вище ми привели доказ справедливості ПНД у формі Гамільтона-Остроградського тільки для голономних механічних систем з ідеальними в'язями й потенційними (або узагальнено-потенційними) активними силами, однак його можна узагальнити й на голономні системи з неконсервативними активними силами й навіть поширити на неголономні механічні системи (див. Ольховський, Жирнов, Голдстейн).

Це фактично означає, що крім індуктивного методу побудови класичної механіки (коли за основу побудови приймаються диференціальні рівняння Ньютона) існує й дедуктивний метод, коли в якості основної і єдиної аксіоми приймається ПНД Гамільтона-Остроградського, при цьому рівняння руху (13.13) виступають як рівняння Ейлера деякого варіаційної задачі.

Зауваження 1. Крім ПНД у формі Гамільтона-Остроградського відомий також ПНД у формі Мопертюі - Лагранжа, у якому використовується дія по Лагранжу й поняття повної варіації (коли варіюються не тільки й , але й час руху системи з однієї конфігурації в іншу). Цей принцип є менш загальним, тому що застосовується тільки для консервативних і при тім голономних систем (див. Ольховський, Голдстейн).

Зауваження 2. Перевага варіаційної концепції класичної механіки (у порівнянні з індуктивним способом її побудови) полягає насамперед у наступному. По-перше, ПНД (16.2) інваріантний відносно будь-якого точкового перетворення узагальнених координат (13.14), у тому числі й відносно точкового перетворення, пов'язаного з переходом від інерціальної системи відліку до будь-який неінерціальних систем відліку, тобто варіаційна концепція не залежить від вибору системи відліку. По-друге, ПНД (16.2) неважко поширити на системи, що мають нескінченно велику кількість ступенів свободи, тобто на системи, що не є механічними (наприклад, на електромагнітні поля й поля елементарних часток); інакше кажучи, у всіх відомих ФКС при побудові фізичних теорій можна сформулювати варіаційні принципи, аналогічні принципу (16.2) і що дозволяють одержувати відповідні їм «рівняння руху» (наприклад, рівняння Максвелла в класичній електродинаміці, рівняння Шредингера у квантовій механіці й т.д.). Можливість формулювання ПНД у різних галузях фізики свідчить про єдність фізичної реальності й спільності форм прояву різних фізичних процесів.

Зауваження 3. Із ПДН (16.2) випливає важливий наслідок: функція Лагранжа механічної системи визначена лише з точністю до повної похідної по часом від довільної функції узагальнених координат (але не швидкостей!) і часу, тобто (16.2) і, отже, рівняння Лагранжа (13.18) інваріанти відносно перетворення:

 

. (16.5)

 

Дійсно, дії й , обумовлені функціями Лагранжа й по формулі (16.1), пов’язані співвідношенням:

 

,

 

звідки видно, що умова збігається з умовою , що й було потрібно довести. Правилом (16.5) часто користуються для вибору найпростішої і зручної .

Зауваження 4. Так як для рівнянь руху суттєва не сама варіація , а тільки факт її рівності нулю, , то множення на довільну константу також не змінить рівнянь руху. Тому, здавалося б, що можна вважати, що визначається також і з точністю до мультиплікативної постійної. Цьому, однак, перешкоджає одне фізичне міркування, яке можна назвати умовою асимптотичної адитивності: якщо деяка механічна система (І+ІІ) розділяється на дві підсистеми І й ІІ так, що мінімум відстані між матеріальними точками різних підсистем , то фізично очевидно, що:

. (16.6)

Тому при множенні й на різні (довільні) множники рівність (16.6) зруйнувалася б, що неприпустимо. Т. ч., залишається тільки можливість множити одночасновсі функції на ту саму константу – але така операція власне кажучи зводиться до зміни системи одиниць. Тому вільність множення на довільну константу зникає.

Зауваження 5. Ядро , тобто містить тільки від узагальнених швидкостей (а не ), внаслідок чого рівняння руху (Лагранжа-Ейлера) є рівняння 2^го порядки, тобто їхнього розв’язок (часткові) однозначно визначаються завданням стану системи й у момент .

Насправді аргументація розвивається в протилежному напрямку: ми тому й допустимо в тільки (але не ) щоб стан системи визначався й . Можна розвивати теорії з вищими похідними, для яких у входять й , і й т.д. (Розгляд цих теорій корисний в деяких спеціальних розділах фізики (наприклад, у деяких напрямках розвитку теорії фізичних полів).

Зауваження 6. Якщо характерні для фізичної задачі величини розмірності дії порівняні по величині із квантом дії (постійної Планка), то розгляд руху фізичної системи варто вести на основі більш загальної механіки – квантової механіки (див. частина IV).