Рівняння Гамільтона-Якобі.

Для формулювання принципу найменшої дії Гамільтона-Остроградського ми в §16 визначили дію S механічної системи як певний інтеграл:

, (19.1)

 

залежний від вигляду конфігураційних траєкторій системи, що починаються й закінчуються у двох заданих конфігураціях й у задані моменти часу й (див. мал. 16.1)).

Можлива, однак, і постановка таких фізичних задач, коли дійсні рухи системи можуть:

1) “ закінчуватись ” у різних конфігураціях ,

2) відбуваються з однієї конфігурації в іншу за різні проміжки часу . Такими є задачі, пов'язані з розглядом безлічі різнихдійсних рухів системи, які відрізняються друг від друга різним вибором її початкового стану (точніше, різним вибором її узагальнених початкових швидкостей при однаковій початковій конфігурації – див. мал. (16.1)). Так як при такій постановці задач всі досліджувані рухи системи є дійсними, то всі розглянуті при цьому конфігураційні траєкторії автоматично задовольняють рівнянням Лагранжа (13.18). Т. ч., у самому загальному випадку (враховуючому й викладену вище можливість постановки фізичних задач), поняття про дію механічної системи (19.1) варто узагальнити й розглядати дію як явну функцію кінцевого моменту часу й кінцевої конфігурації системи , тобто дія системи в загальному випадку можна визначитися невизначеним інтегралом:

. (19.2)

 

Використовуючи (17.3), (19.2) можна переписати у вигляді (див. також (17.6)):

 

, (19.3)

 

звідки для повного диференціала одержуємо вираз:

 

. (19.4)

 

З іншого боку, формальний вираз для повного диференціала від функції має вигляд:

. (19.5)

 

З порівнянням (19.4) і (19.5) знаходимо:

 

(19.6)

 

, (19.7)

 

Якщо тепер у співвідношенні (19.6) узагальнені імпульси , що входять у функцію Гамільтона, замінити згідно (19.7) частковими похідними , то ми одержимо рівняння:

 

, (19.8)

 

якому повинна задовольняти функція дії механічної системи з узагальнено-потенційними активними силами й голономними ідеальними в'язями. Це рівняння в частинних похідних першого порядку називається рівнянням Гамільтона-Якобі. Воно є нелінійним рівнянням, тому що часткові похідні входять у нього в другому ступені. Наприклад, для вільної матеріальної точки маси , що рухається в потенціальному полі , функція Гамільтона має вигляд ; тому рівняння Гамільтона-Якобі (19.8) для такої системи записується у вигляді (якщо як узагальнені координати точки використати її декартові координати):

 

. (19.9)

 

Поряд з методом Лагранжа й Гамільтона рівняння (19.8) становить основу ще одного методу інтегрування рівняння руху, що тут не викладається.

Важливе значення рівняння Гамільтона-Якобі (19.8) полягає в тому, що воно допомагає: 1) розкрити аналогію між класичною механікою частки й хвильовим процесом (т.зв. оптико-механічну аналогію), що відіграє важливу роль при поясненні хвильових властивостей мікрочастинок у квантовій механіці; 2) установити граничний перехід від квантової механіки до механіки класичної (див. частина IV).

Заключне зауваження. Аналітичні методи дослідження механічного руху, викладені в главі 3, розвинені на основі механічної картини світу, тобто на основі примітивних (із сучасної точки зору) уявлень про фізичну форму руху матерії, і тому, на перший погляд, не можуть бути використані за межами МКС. Однак, як ми вже неодноразово підкреслювали, ці методи при відповідному їхньому узагальненні з більшим успіхом застосовуються й у рамках інших ФКС – ЕМКС і КПКС. Ця обставина чітко підтверджує єдність фізичної реальності і є переконливою природно науковою ілюстрацією положення діалектичного матеріалізму про єдність матеріального світу. Ця ж обставина дає переконливу відповідь на питання, чому серйозне вивчення «древньої» науки – класичної механіки так необхідно для виховання сучасного фізика-дослідника.