Канонічні рівняння руху.

Усі раніше розглянуті типи рівнянь руху (рівняння Ньютона для вільних механічних систем і рівняння Лагранжа для невільних голономних систем з ідеальними в'язями) є диференціальними рівняннями другого порядку (число таких рівнянь у найкращому разі дорівнює числу ступенів свободи системи S). З математики відомо, що будь-яку систему S диференціальних рівнянь другого порядку можна замінити системою 2S рівнянь першого порядку. Цей математичний результат використав Гамільтон з метою запису рівнянь руху механічної системи у формі диференціальних рівнянь першого порядку (їх називають канонічними рівняннями руху). Отриманий Гамільтоном результат (очевидний з математичної точки зору) виявився новим нетривіальним фізичним методом опису руху механічної системи, що істотно відрізняється від методу Лагранжа (тому канонічні рівняння руху часто називають рівняннями Гамільтона).

Приступаючи до викладу методу Гамільтона, попередньо нагадаємо, що хоча й функція Лагранжа , і рівняння Лагранжа явно містять як узагальнені координати , так й узагальнені швидкості , однак незалежними змінними вважаються тільки узагальнені координати й час (змінні вважаються залежними). Ця обставина в методі Лагранжа відбита в істотному використанні конфігураційного простору, завдання будь-якої точки якого, дає тільки знання S координат ; швидкості ж при цьому залишаються невизначеними (інакше кажучи, завдання точки конфігураційного простору дає тільки S початкових умов типу , і отже, для повного визначення руху системи потрібно задати додатково ще S початкових умов типу ). Це означає, що через будь-яку точку конфігураційного простору проходить незліченна безліч траєкторій системи. Так як стан (з в’язями) системи в будь-який момент часу визначається завданням 2S змінних й (), то природно було б вважати незалежними змінними не тільки узагальнені координати, але й узагальнені швидкості (або узагальнені імпульси). Саме так і роблять у методі, запропонованому Гамільтоном.

Отже, у методі Гамільтона в якості незалежних змінних розглядаються S узагальнених координат системи й Sїї узагальнених імпульсів , обумовлених рівностями (14.3) Для геометричної інтерпретації руху механічної системи вводиться фазовий простір – 2S-мірний абстрактний простір, по осях координат якого відкладаються значення S узагальнених координат й S узагальнених імпульсів . Кожній точці фазового простору (яку називають точкою, що зображує) відповідає визначений стан системи. При русі системи точка, що зображує, описує у фазовому просторі деяку криву, що називають фазовою траєкторією механічної системи. На відміну від конфігураційного простору через кожну точку фазового простору проходить одна-єдина фазова траєкторія механічної системи.

Рівняння руху механічної системи, які відповідають зазначеному способу опису її станів, можна одержати різними методами. Нижче ми приведемо два таких методи. Одержимо спочатку шукані рівняння руху за допомогою так називаного перетворення Лежандра, який широко використовується в теоретичній фізиці (наприклад, у термодинаміці при перетворенні термодинамічних функцій від одних термодинамічних параметрів до інших). У випадку, що цікавить нас, перетворення Лежандра від змінних й (використовуваних у методі Лагранжа) до новим змінного й (використовуваних у методі Гамільтона) зводиться до наступного.

Записуємо повний диференціал функції Лагранжа системи (ми обмежуємося системами з узагальнено-потенційними або просто потенційними активними силами)

 

.

 

Роблячи тут згідно (14.3) і (14.5) заміни й маємо:

. (17.1)

 

Використовуючи очевидну рівність:

 

,

 

вираз (17.1) переписуємо у вигляді:

 

. (17.2)

 

Наявність у першій частині (17.2) диференціалів і вказує на те, що величина, що міститься під знаком диференціала в лівій частині (17.2), являє собою деяку функцію і яка визначається формулою:

 

 

(17.3)

 

і називається функцією Гамільтона механічної системи.

Символ в (17.3) означає, що для складання явного виду по формулі (17.3) необхідно узагальнені швидкості виразити через узагальнені імпульси за допомогою визначення узагальнених імпульсів згідно (14.3); помітимо, що така процедура завжди здійсненна (див., наприклад, (14. …))...Нагадаємо, (див. § 14), що якщо не залежить явно від часу, то величина (17.3) зберігається, і її називають повною енергією системи, тобто .

Порівнюючи тепер (17.2) з формальним вираженням для повного диференціала

 

,

 

одержуємо рівняння:

 

, (17.4)

і

. (17.5)

 

Рівняння (17.4) і є шукані рівняння руху системи в змінних й , які називають рівняннями Гамільтона або канонічними рівняннями руху. Вони являють собою систему 2S диференціальних рівнянь першого порядку відносно 2S невідомих функцій й . Обертає на себе увагу симетрія рівнянь (17.4) відносно змінних й .

Одержимо тепер рівняння Гамільтона із принципу найменшої дії (16.2). Використовуючи визначення (17.3) маємо:

 

,

 

тому (16.2) можна записати у вигляді:

 

. (17.6)

 

Міняючи в лівій частині (17.6) порядок інтегрування й варіювання, одержуємо:

 

. (17.7)

 

Перетворимо останній доданок у лівій частині (17.7), інтегруючи по частинам:

,

 

звідки з урахуванням граничних умов маємо:

 

. (17.8)

 

Підставляючи (17.8) в (17.7), одержуємо:

 

, (17.9)

 

звідки в силу незалежності (і, отже, дозвілля) варіацій і випливають рівняння Гамільтона (17.4).

Зауваження 1. Порівнюючи метод Гамільтона з методом Лагранжа, необхідно відзначити наступне. У рамках класичної механіки важко вказати таку динамічну задачу, яку не можна було б вирішити, користуючись рівняннями Лагранжа, і для розв’язок якої варто було б звернутися до рівнянь Гамільтона (17.4). Дійсна перевага методу Гамільтона в рамках самої класичної механіки полягає в тому, що він дозволяє суттєво спростити розгляд деяких загальних проблем механіки (наприклад, проблеми відшукання інтегралів руху - див. § 18). Але головна перевага методу Гамільтона складається все-таки в тім, що він дає необхідну математичну основу для побудови квантової механіки (див. частина IV) і статистичної фізики (тобто його головна перевага проявляється поза рамками самої класичної механіки).

Зауваження 2. Рівняння (17.5) у методі Гамільтона важливої ролі не відіграє; воно вказує тільки на те, що функція Гамільтона механічної системи залежить або не залежить явно від часу одночасно з її функцією Лагранжа. Тому зв'язок із законом збереження енергії точно такий же, як і (див. § 14): якщо явно не залежить від часу (тобто ), то повна енергія системи зберігається. Дійсно, записуючи повну похідну за часом від :

 

,

 

і підставляючи сюди замість й їхній вираз з (17.4), одержуємо:

 

. (17.10)

 

Звідси видно, що при функція Гамільтона збігається з повною енергією системи:

. (17.11)

 

Зауваження 3. Закон збереження узагальненого імпульсу в методі Гамільтона формулюється аналогічно закону (14,…) у методі Лагранжа. Дійсно, порівнюючи рівняння Лагранжа (14.5) з рівняннями Гамільтона , маємо:

 

. (17.12)

 

З (17.12) видно, що яка-небудь координата є циклічною (див. § 14) одночасно й стосовно , і стосовно , тобто ми маємо:

 

, якщо (17.13)

 

у повній аналогії з (14.6).

 

 

§ 18. Дужки Пуассона.

 

Наприкінці § 17 було показано, як по вигляду функції Гамільтона можна судити про збереження повної енергії й узагальнених імпульсів механічної системи. Розглянемо тепер більш загальну проблему відшукання будь-яких перших інтегралів (а не тільки законів збереження – див. § 8) рівнянь Гамільтона (17.4), а саме: знайдемо необхідні й достатні умови, при виконанні яких яка-небудь функція узагальнених координат, узагальнених імпульсів і часу F(q,p,t) є першим інтегралом рівнянь руху.

З цією метою запишемо повну похідну від F по часом:

 

 

Підставляючи замість й їхній вираз з канонічних рівнянь руху (17.), одержуємо:

 

, (18.1)

 

де уведене позначення:

. (18.2)

 

Вираз (18.2) називається дужками Пуассона для величин H й F.

Т. ч., необхідна й достатня умова для того, щоб величина F(q,p,t) була першим інтегралом руху, згідно (18.1) записується у вигляді вимоги:

. (18.3)

 

Якщо ж величина F явно від часу не залежить, тобто й, отже , то умовою, при якій ця величина є такою, що зберігається, є вимога (наслідок (18.3)):

 

, (18.4)

 

т. ч. дужки Пуассона F з функцією Гамільтона H повинні звертатися в нуль. Умовами (18.3) чи (18.4) можна користуватися для відшукання перших інтегралів руху, у тому числі й законів збереження. Таким чином, метод Гамільтона дозволяє запропонувати систематичний спосіб розв’язку проблеми відшукання інтегралів руху.

Введення дужок Пуассона дає можливість представити рівняння Гамільтона (17.) в абсолютно симетричному вигляді стосовно змінних й . Для цього у виразі (18.2) покладемо й (). Користуючись в обчисленнях символом Кронекера:

 

, (18.5)

маємо:

, (18.6)

 

. (18.7)

 

З урахуванням результатів (18.6) і (18.7) рівняння Гамільтона (17.) можна переписати в симетричному вигляді:

(18.8)

 

З огляду на важливість поняття дужок Пуассона для розвитку математичного апарата сучасної теоретичної фізики (особливо квантової механіки), викладемо тут основні математичні відомості про дужки Пуассона для будь-якої пари функцій й . У цьому випадку дужки Пуассона визначаються вираженням, аналогічним (18.2),

 

, (18.9)

 

де, як й в (18.2) ми використаємо скорочені позначення й . Дужки Пуассона (18.9) задовольняють цілому ряду тотожностей, що випливають безпосередньо з їхнього визначення:

 

; (18.10)

; (18.11)

, якщо ; (18.12)

; (18.13)

; (18.14)

, (18.15)

де під варто розуміти будь-яку узагальнену координату , імпульс або час . Якщо одна з функцій або збігається з або , то дужки (18.9) приймають вигляд (див. обчислення (18.6) і (18.7)):

 

. (18.16)

 

Припускаючи в (18.16) функцію рівної й , одержуємо:

 

(18.17)

 

де дається формулою (18.5).

Дужки (18.17) називаються фундаментальними (або основними) дужками Пуассона. Їхнє важливе значення полягає в тому, що вони є класичними аналогами квантово-механічних переміщувальних співвідношень для операторів координати й імпульсу мікрочастинки (див. частина IV).

Та обставина, що для пари величин і дужки Пуассона згідно (18.17) дорівнюють одиниці можна розглядати як визначення канонічної спряженості цих величин: будь-які дві величини й будемо називати канонічно спряженими, якщо вони задовольняють умовам:

 

. (18.18)

 

Використовуючи тотожності (18.13) – (18.15) легко перевірити справедливість тотожності для трьох функцій й

, (18.19)

 

яке називається тотожністю Якобі. З нього випливає важлива теорема Пуассона: якщо функції і є першими інтегралами рівнянь руху, то дужки також є величиною, що зберігається.

Доведення. За умовою теореми з врахуванням (18.3):

 

 

і необхідно довести, що такій же умові задовольняє і величина , тобто що справедлива вимога:

 

.

 

Дійсно, припускаючи в (18.19) , маємо, користуючись (18.10):

 

.

Тому, використовуючи (18.15) і (18.13) одержуємо:

 

,

 

т. е. , що й було потрібно довести. Теорему Пуассона можна, таким чином, використати для знаходження нових інтегралів руху по відомим величинам, що зберігаються, а саме: у тому випадку якщо не зводиться до постійної або до функції від вихідних інтегралів і, то дає новий інтеграл руху.

Приклад. Нехай відомо, що у вільної матеріальної точки зберігаються величини й . Тоді з теореми Пуассона випливає, що зберігається і величина . Але згідно (18.16):

 

,

т. ч. при цьому обов'язково зберігається й проекція імпульсу .

Зауваження. Алгебра дужок Пуассона (див. (18.10) – (18.15) і (18.19)) аналогічна так названій Лі алгебрі, тому математичний апарат дужок Пуассона має глибокі зв'язки з такими розділами математики, як з теорією алгебри Лі й, отже, з теорією Лі груп. Ця обставина дає можливість застосовувати ці потужні сучасні математичні методи для дослідження загальних проблем як класичної механіки, так й інших розділів фізики, де застосовується метод Гамільтона.