Функція Лагранжа і закони збереження.

 

В § 13 ми дали формальне визначення (13.19) функції Лагранжа. Тут ми покажемо, що функція Лагранжа має глибокий фізичний зміст – вона є найважливіша характеристична функція механічної системи, що містить у собі величезну фізичну інформацію про стан системи в довільний момент часу. Щоб переконатися в цьому, досить показати, що вже по зовнішньому вигляді функції Лагранжа досить просто відшукати закони збереження, тобто такі найважливіші перші інтеграли рівнянь Лагранжа, які пов’язані із симетріями простору й часу (або зовнішнього силового поля) і накладених на систему в'язів (див. р. 2).

Розглянемо механічну систему, функція Лагранжа якої явно від часу не залежить, тобто ; допустимо також, що на систему не діють дисипативні сили. Покажемо, що цієї інформації досить для одержання закону збереження повної енергії зазначеної системи.

Для цього записуємо повну похідну по часом від :

 

.

 

Заміняючи тут відповідно з (13.18) на , одержуємо:

 

або

. (14.1)

 

З (14.1) видно, що якщо , то в процесі руху системи зберігається величина:

 

, (14.2)

 

називана повною механічною енергією. Умову консервативності системи можна розглядати як вимогу інваріантності її функції Лагранжа відносно перетворень «зсуву» у часі: (див. § 9). Фізично ця вимога є наслідком виконання двох умов: 1) однорідності часу для замкнутих систем (або незалежності від часу зовнішніх силових полів); 2) стаціонарності в'язів, накладених на систему.

Нове (у порівнянню з даним в § 9) визначення (14.2) повної енергії є більш загальним (тому перший інтеграл руху (14.2) іноді називають законом збереження узагальненої енергії), але у всіх випадках, коли можна користуватися поняттям повної потенціальної енергії, визначення (14.2) збігається зі звичайним визначенням повної енергії як суми кінетичної й потенціальної енергій. Наприклад, для системи, на яку діють тільки потенційні сили, функція Лагранжа має вигляд (13.29), при цьому згідно (13.32):

 

 

і, отже, повна енергія (14.2) дорівнює: . Розглянемо ще один приклад консервативної системи (для який ) з узагальнено-потенційними силами, узагальнений потенціал якої можна представити у вигляді суми , де - однорідналінійна функція узагальнених швидкостей , і - звичайна потенціальна енергія, що залежить тільки від узагальнених координат . У цьому випадку, згідно (13.30)

і:

 

 

і, отже, повна енергія (14.2) дорівнює:

 

,

 

тобто в цьому випадку з повної енергії (14.2) обов'язково випадає лінійний по узагальнених швидкостях член .

Розглянемо тепер питання про зв'язок виду функції Лагранжа із законами збереження імпульсу й моменту імпульсу системи (див. §§ 10-11). При цьому варто врахувати, що використовуючи «мову» узагальнених координат потрібно вживати поняття узагальнених імпульсів, тобто деяких узагальнень звичайних понять імпульсу й моменту імпульсу. Тому дамо спочатку відповідне визначення.

Узагальненими імпульсами механічної системи називають скалярні величини, які визначаються формулою:

 

, (14.3)

 

Якщо узагальнена координата має розмірність довжини, то відповідний їй узагальнений імпульс має розмірність звичайного імпульсу (наприклад, узагальнені імпульси вільної системи збігаються із проекціями звичайних імпульсів); якщо - безрозмірна кутова змінна, то має розмірність моменту імпульсу.

Природно, що структура узагальнених імпульсів невільної системи виявляється більш складною в порівнянні з виразами для імпульсу й моменту імпульсу (див. § 3) вільної системи. Наприклад, для системи, описуваною функцією Лагранжа (13.29), мають вигляд:

 

. (14.4)

 

Використовуючи поняття узагальненого імпульсу (14.3), рівняння Лагранжа (13.18) можна переписати у вигляді:

. (14.5)

 

Нерідко трапляється так, що деякі з у явно не входять (а входять лише їхні похідні по часом ); такі називаються циклічними координатами й для них . Тоді з (14.5) одержуємо наступний закон збереження: якщо узагальнена координата є циклічної, то зберігається відповідний їй узагальнений імпульс , тобто

 

, якщо . (14.6)

 

Помітимо, що циклічність деякої координати (тобто вимога ) фізично є умовою інваріантності функції Лагранжа L системи відносно перетворення або повороту системи як єдиного цілого, тобто перетворення вигляду:

 

. (14.7)

 

Дійсно, якщо інваріантною відносно перетворень (14.7), то її збільшення , обумовлене цими перетвореннями, повинне обертатися в нуль, тобто , що еквівалентно вимозі .

У свою чергу, інваріантність відносно перетворень (14.7) є наслідком виконання наступних двох фізичних умов: 1) однорідності або ізотропності простору (або наявності відповідної симетрії зовнішніх силових полів) – див. §§ 10-11; 2) наявністю відповідної симетрії накладених на систему в'язів.

Звідси випливає методична рекомендація:

хоча набори узагальнених координат, пов'язаних між собою точковими перетвореннями (13.14), теоретично рівноправні, однак для спрощення рішень конкретних задач механіки методом Лагранжа узагальнені координати системи варто вибирати з урахуванням симетрії задачі; тільки в цьому випадку окремі можуть виявитися циклічними, а відповідні їм - постійними (а значення цих найважливіших інтегралів руху, як указувалося в § 8, значно спрощує інтегрування диференціальних рівнянь руху Лагранжа).

Т. ч., функція Лагранжа дійсно є найважливішою функцією стану механічної системи: знання явного вигляду дозволяє не тільки скласти рівняння руху для систем з потенційними й узагальнено-потенційними активними силами, але й одержати закони збереження для таких систем.

 

 

§ 15. Основна задача варіаційного числення.

Рівняння Ейлера.

 

З метою подальшого розвитку методу Лагранжа в цьому параграфі ми попередньо познайомимося з деякими елементами варіаційного числення – спеціального розділу математики, що займається дослідженням екстремальних властивостей криволінійних інтегралів, що залежать від вибору однієї або декількох функцій (такі криволінійні інтеграли називають функціоналами).

Найпростішим функціоналом є криволінійний інтеграл:

 

, (15.1)

 

залежний від вибору однієї функції . Тут .

Основна задача варіаційного числення (у застосуванні до (15.1)) складається в знаходженні такої функції , що: 1) забезпечує екстремум функціоналові (15.1) і 2) задовольняє граничним умовам:

 

, (15.2)

 

де , – наперед задані величини.

Найпростіший шлях розв’язок поставленої задачі полягає в наступному. Допустимо, що задача вирішена і функція є шукане розв’язок варіаційної задачі. Знайдемо необхідні умови, яким повинна задовольняти ця функція, щоб функціонал I мав екстремум. Із цією метою побудуємо нову функцію , близьку до (див. мал.)

 

 

, (15.3)

 

де - довільна функція, що задовольняє таким граничним умовам щоб підкорялася тим же умовам (15.2), що й , тобто:

 

, (15.4)

 

і - малий чисельний параметр.

Підстановка (15.3) в (15.1) приводить до деякої допоміжної функції параметра :

. (15.5)

 

Тим самим задача знаходження екстремуму функціонала (15.1) звелася до дослідження на екстремум функції однієї змінної . А для цього, як відомо, необхідно знайти значення похідної при й прирівняти його нулю (при цьому екстремум функціоналові (15.1) забезпечує по нашому припущенню функція , що виходить із функції (15.3) при ).

Обчислимо спочатку похідну від (15.5), використовуючи відоме правило диференціювання інтеграла по параметру:

 

. (15.6)

Інтегруючи другий інтеграл у правій частині (15.6) по частинам з урахуванням граничних умов (15.4) одержуємо:

 

. (15.7)

З врахуванням (15.7) перепишемо (15.6) у вигляді:

 

,

звідки умова екстремуму , а, отже, і функціонала I запишеться у вигляді:

, (15.8)

 

де ми врахували, що й .

Так як - довільна функція, то ми дійдемо висновку, що рівність (15.8) має місце тільки в тому випадку, якщо коефіцієнт, що міститься перед у підінтегральному виразі, тотожно звертається в нуль, тобто:

. (15.9)

 

Рівність (15.9) називається рівнянням Ейлера. Так як функція містить першу похідну , то ліва частина (15.9) буде містити другу похідну , тому рівняння Ейлера є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку відносно шуканої функції , і, отже, загальне розв’язок рівняння (15.9) містить дві довільні сталі, які визначаються граничними умовами (15.2). Т. ч., ми довели, що функція , що реалізує екстремум (15.1), повинна задовольняти рівнянню Ейлера (15.9).